Methoden für Stabilitätsuntersuchung für zufällige Chargen

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Das gemischte Modell und Log-Likelihood

Die allgemeine Form des gemischten Modells

Modelle mit gemischten Effekten enthalten sowohl feste als auch Zufallseffekte. Die allgemeine Form des gemischten Modells lautet:

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

Notation

BegriffBeschreibung
y(n x 1)-Vektor von Werten der Antwortvariablen
x(n x p)-Designmatrix für die festen Effekte, pn
Zi(n x mi)-Designmatrix für den i-ten Zufallseffekt im Modell
βein (p x 1)-Vektor von unbekannten Parametern
μiein (mi x 1)-Vektor von unabhängigen Variablen aus N(0, σ2i)
εein (n x 1)-Vektor von unabhängigen Variablen aus N(0, σ2i)
cAnzahl der Zufallseffekte im Modell

Besondere Formen des gemischten Modells

Bei Stabilitätsuntersuchungen werden zwei Modelle mit Charge als Zufallsfaktor angepasst. Das größte Modell enthält Zeit, den Zufallsfaktor Charge und die zufällige Wechselwirkung zwischen Zeit und Charge.

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ε

Das kleinere Modell enthält Zeit und den Zufallsfaktor Charge.

y =+ Z1μ1 + ε

Die allgemeine Varianz-Kovarianz-Matrix des Vektors der Antwortvariablen y lautet:

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

Dabei gilt Folgendes:

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c werden als Varianzkomponenten bezeichnet.

Durch Faktorisieren ausgehend von der Varianz kann eine Darstellung von H(θ) gefunden werden, was sich in der Berechnung der Log-Likelihood von gemischten Modellen befindet.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

Wenn Charge ein Zufallsfaktor ist, ergeben sich die Schätzwerte des unbekannten Parameters aus der Minimierung des zweifachen negativen Werts der beschränkten Log-Likelihood-Funktion. Die Minimierung entspricht der Maximierung der beschränkten Log-Likelihood-Funktion. Die Funktion zur Minimierung lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
nAnzahl der Beobachtungen
pAnzahl der Parameter in β, für Stabilitätsuntersuchungen 2
σ2Varianzkomponente für Fehler
xDesignmatrix für die festen Terme, die Konstante und Zeit
H(θ)In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
InIdentitätsmatrix mit n Zeilen und Spalten
θiVerhältnis der Varianz des i-ten Zufallsterm zur Fehlervarianz
Zi(n x mi)-Matrix der bekannten Kodierungen für den i-ten Zufallseffekt im Modell
miAnzahl der Stufen für den i-ten Zufallseffekt
cAnzahl der Zufallseffekte im Modell
|H(θ)|Determinante von H(θ)
X'Transposition von X
H–1(θ)Inverse von H(θ)

Box-Cox-Transformation

Bei der Box-Cox-Transformation werden Lambda-Werte (siehe unten) ausgewählt, die die Summe der Quadrate der Residuen minimieren. Die resultierende Transformation ist Y λ, wenn λ ≠ 0, und ln(Y), wenn λ = 0. Wenn λ < 0, multipliziert Minitab zudem die transformierte Antwortvariable mit −1, um die Reihenfolge aus der nicht transformierten Antwortvariablen beizubehalten.

Minitab sucht einen optimalen Wert zwischen −2 und 2. Werte, die außerhalb dieses Intervalls liegen, führen möglicherweise nicht zu einer besseren Anpassung.

Hier finden Sie einige der gängigsten Transformationen, wobei Y′ das transformierte Y der Daten darstellt:

Lambda-Wert (λ) Transformation
λ = 2 Y′ = Y 2
λ = 0,5 Y′ =
λ = 0 Y′ = ln(Y )
λ = −0,5
λ = −1 Y′ = −1 / Y

Modellauswahl bei Charge als Zufallsfaktor

Mit der Modellauswahl wird festgelegt, ob die Haltbarkeit von der Charge abhängt und ob der Effekt der Zeit von der Charge abhängt. Minitab zieht nacheinander die drei folgenden Modelle in Betracht:
  1. Zeit + Charge + Charge*Zeit (ungleiche Steigungen und Schnittpunkte mit der y-Achse bei den Chargen)
  2. Zeit + Charge (gleiche Steigungen und ungleiche Schnittpunkte mit der y-Achse bei den Chargen)
  3. Zeit (gleiche Steigungen und Schnittpunkte mit der y-Achse bei den Chargen)

Wenn die Wechselwirkung Charge*Zeit signifikant ist, wird in der Analyse das erste Modell angepasst. Wenn die Wechselwirkung nicht signifikant ist, aber der Chargenterm im zweiten Modell signifikant ist, wird in der Analyse das zweite Modell angepasst. Anderenfalls wird in der Analyse das dritte Modell angepasst.

Der Test darauf, ob Chargen zusammengefasst werden sollten, unterscheidet sich leicht vom Test darauf, ob die Charge als Faktor eingebunden werden soll, obwohl beide auf der Chi-Quadrat-Verteilung beruhen. Die Formeln für die Teststatistiken und p-Werte lauten wie folgt.

Test zwischen Modell 1 und Modell 2

Differenz = −2L2 − (−2L1)

p = 0,5 * Wahrsch(χ21 > Differenz) + 0,5 * Wahrsch(χ22 > Differenz)

Test zwischen Modell 2 und Modell 3

Differenz = −2L3 − (−2L2)

p = 0,5 * Wahrsch(χ21 > Differenz)

Notation

BegriffBeschreibung
LaLog-Likelihood für Modell a
pp-Wert für den Test
Wahrsch(χ21> Differenz)Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable aus einer Chi-Quadrat-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad größer ist die Differenz ist
Wahrsch(χ22> Differenz)Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable aus einer Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden größer als die Differenz ist

Literaturhinweise

  1. Searle, S. R., Casella, G. und McCuloch, C. E. (1992). Variance Components
  2. West, B. T., Welch, K. B. und Galecki, A. T. (2007). Linear Mixed Models: A Practical Guide Using Statistical Software.
  3. Chow, S. (2007). Statistical Design and Analysis of Stability Studies.
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