Methoden und Formeln für Orthogonale Regression

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Regressionsgleichung

Das Modell für den Messfehler lautet:

Bei der orthogonalen Regression ist die Linie am besten angepasst, bei der die gewichteten orthogonalen Distanzen von den Diagrammpunkten zur Linie minimiert sind. Wenn das Fehlervarianzverhältnis 1 beträgt, sind die gewichteten Distanzen euklidische Distanzen.

Notation

BegriffBeschreibung
Ytbeobachteter Wert der Antwortvariablen
β0Schnittpunkt mit y-Achse
β1Steigung
Xtbeobachteter Prädiktor
xttatsächlicher und nicht beobachteter Wert des Prädiktors
et, utMessfehler; et, ut sind unabhängig mit dem Mittelwert 0 und den Fehlervarianzen δe2 und δu2

Kovarianzmatrix der Stichprobe

Sei der Stichprobenmittelwert (, ), und sei die Kovarianzmatrix der Stichprobe:
mZZ ist eine symmetrische (2 x 2)-Matrix:

Notation

BegriffBeschreibung
Zt(Yt, Xt)
nStichprobenumfang

Fehlervarianzen

Bei der Kovarianzmatrix der Stichprobe handelt es sich um eine (2 x 2)-Matrix:

Wenn das Element mXY der Kovarianzmatrix der Stichprobe ungleich 0 ist, dann gilt:

Wenn mXY = 0 und mYY < δmXX, dann gilt:

Wenn mXY = 0 und mYY > δmXX, sind die verbleibenden Parameterschätzwerte nicht definiert.

Notation

BegriffBeschreibung
geschätzte Fehlervarianz für X
geschätzte Fehlervarianz für Y
δVerhältnis der Fehlervarianzen
mXYElement der Kovarianzmatrix der Stichprobe
mYYElement der Kovarianzmatrix der Stichprobe
mXXElement der Kovarianzmatrix der Stichprobe

Koeffizienten

Wenn das Element mXY der Kovarianzmatrix der Stichprobe ungleich 0 ist, dann gilt:

Wenn mxy = 0 und myy < δm xx, dann gilt:

Wenn mxy = 0 und myy > δmxx, sind die verbleibenden Parameterschätzwerte nicht definiert.

Notation

BegriffBeschreibung
geschätzte Steigung
geschätzter Schnittpunkt mit der y-Achse
mxyElement der Kovarianzmatrix der Stichprobe
myyElement der Kovarianzmatrix der Stichprobe
δVerhältnis der Fehlervarianzen
Mittelwert der Antwortvariablen
Mittelwert des Prädiktors

Kovarianzmatrix der approximierten Verteilung

Eine Schätzung der Kovarianzmatrix der approximierten Verteilung des Schnittpunkts mit der y-Achse und der Steigung:

Dabei gilt Folgendes:

und

Wenn mXY ungleich 0 ist:

Wenn mXY gleich 0 und mYY < δmXX ist:

Notation

BegriffBeschreibung
geschätzte Steigung
geschätzter Schnittpunkt mit der y-Achse
mXYElement der Kovarianzmatrix der Stichprobe
mYYElement der Kovarianzmatrix der Stichprobe
mXXElement der Kovarianzmatrix der Stichprobe
δVerhältnis der Fehlervarianzen
Mittelwert der Antwortvariablen
Mittelwert des Prädiktors

Konfidenzintervall für den Schnittpunkt mit der y-Achse

Das 100(1 – α)%-Konfidenzintervall für β0 lautet:
Dabei gilt Folgendes:

Z (1 – α / 2) ist das 100 * (1 – α / 2 )-te Perzentil der Standardnormalverteilung

und

, was ein Element der Kovarianzmatrix der approximierten Verteilung ist.

Notation

BegriffBeschreibung
geschätzte Steigung
geschätzter Schnittpunkt mit der y-Achse
αSignifikanzniveau

Konfidenzintervall für die Steigung

Das 100(1 – α)%-Konfidenzintervall für β1 lautet:

Dabei gilt Folgendes:

Z(1 – α / 2) ist das 100 * (1 – α / 2 )-te Perzentil der Standardnormalverteilung

und

Notation

BegriffBeschreibung
geschätzte Steigung
geschätzter Schnittpunkt mit der y-Achse
αSignifikanzniveau

Angepasste Werte für x

Der angepasste Wert für den Prädiktor x in der orthogonalen Regression lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
δVerhältnis der Fehlervarianzen
Ytt-ter Wert der Antwortvariablen
geschätzter Schnittpunkt mit der y-Achse
geschätzte Steigung

Angepasste Werte für y

Der angepasste Wert für die Antwortvariable y in der orthogonalen Regression lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
geschätzter Schnittpunkt mit der y-Achse
geschätzte Steigung
t-ter angepasster Wert für x

Residuen

In der orthogonalen Regression wird das Residuum einer Beobachtung wie folgt ausgedrückt:

Notation

BegriffBeschreibung
Ytt-ter Wert der Antwortvariablen
Schnittpunkt mit y-Achse
Xtt-ter Prädiktorwert
Steigung

Standardisierte Residuen

Das standardisierte Residuum ist hilfreich beim Identifizieren von Ausreißern. Es wird folgendermaßen berechnet:

Dabei gilt Folgendes:

Notation

BegriffBeschreibung
Residuum
Standardabweichung des Residuums
δFehlervarianzverhältnis
geschätzte Steigung
geschätzte Fehlervarianz für x

Prädiktor von y

Der Prädiktor von Yn + 1 ist:

Dabei gilt Folgendes:

und

Notation

BegriffBeschreibung
Xtt-ter Prädiktorwert
Mittelwert des Prädiktors
Ytt-ter Wert der Antwortvariablen
Mittelwert der Antwortvariablen

Standardabweichung des Prognosefehlers

Dabei gilt Folgendes:

Notation

BegriffBeschreibung
myyVarianz der Stichprobe von Y
mxyStichprobenkovarianz zwischen den Zufallsvariablen X und Y
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