Methoden und Formeln für die Parameterschätzwerte in Nichtlineare Regression

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Nebenbedingungen für Parameter

Durch Transformieren der Parameter wird sichergestellt, dass die Nebenbedingungen für die Parameter eingehalten werden.1
Wenn Dann ist
a < θ θ = a + exp( φ )
θ < b θ = b – exp( φ )
a < θ < b θ = a +((b – a) / (1 + exp( –φ )))
BegriffBeschreibung
a und bnumerische Konstanten
θParameter
φtransformierte Parameter

Minitab führt diese Transformationen durch und zeigt die Ergebnisse in Bezug auf die ursprünglichen Parameter an.

  1. Bates und Watts (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc.

Standardfehler für die Parameterschätzwerte

Der ungefähre Standardfehler des Schätzwerts von θp ist das S-fache der Quadratwurzel des Diagonalelements p von , was ausgedrückt wird als:
Hierbei ist ep ein (P mal 1)-Vektor mit dem Element p gleich 1 und allen anderen Elementen gleich 0. Minitab berechnet Folgendes:
durch Rückwärtslösen von:

Notation

BegriffBeschreibung
nn-te Beobachtung
NGesamtzahl der Beobachtungen
pAnzahl der freien (entsperrten) Parameter
Rdie (obere dreieckige) R-Matrix aus der QR-Zerlegung von Vi für die letzte Iteration
V0Gradientenmatrix = ( ∂f(xn, θ) / ∂θp), der (P mal 1)-Vektor partieller Ableitungen von f(x0, θ), ausgewertet bei θ*
S

Korrelationsmatrix für die Parameterschätzwerte

Die ungefähre Varianz-Kovarianz-Matrix für die Parameterschätzwerte lautet:
Die ungefähre Korrelation zwischen den Schätzwerten von θp und θq lautet:
Da R dreieckig ist, kann Minitab dessen Umkehrung durch Rückwärtslösen erhalten, statt einen allgemeinen Umkehralgorithmus zu verwenden.

Notation

BegriffBeschreibung
Rdie (obere dreieckige) R-Matrix aus der QR-Zerlegung von Vi für die letzte Iteration
PAnzahl der freien (entsperrten) Parameter
v0Gradientenmatrix = ( ∂f(xn, θ) / ∂θ p), der (P mal 1)-Vektor partieller Ableitungen von f( x0, θ), ausgewertet bei θ*
θ'sParameter

Profil-Likelihood-Konfidenzintervalle für die Parameter

Sei θ = (θ1, . . . . θp) *, wobei θ* die letzte Iteration für θ ist.

Die Likelihood-basierten 100(1–α)%-Konfidenzgrenzen erfüllen:

Hierbei ist S( θp ) die SSE ist, die erhalten wird, wenn θp fest bleibt und über die anderen Parameter minimiert wird.1 Dies entspricht dem Lösen der folgenden Gleichung:

S(θp) = S(θ*) + (tα/2)2 MSE

Notation

BegriffBeschreibung
θ'sParameter
nn-te Beobachtung
NGesamtzahl der Beobachtungen
PAnzahl der freien (entsperrten) Parameter
tα/2oberer α/2-Punkt der t-Verteilung mit N – P Freiheitsgraden
S(θ)Summe der quadrierten Fehler
MSEmittlerer quadrierter Fehler
  1. Bates and Watts (1988). Nonlinear Regression Analysis and Its Applications. John Wiley & Sons, Inc.
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