Regressionsgleichung und Parameterschätzwerte für Nichtlineare Regression

Hier finden Sie Definitionen und Anleitungen zur Interpretation für die Regressionsgleichung und alle Statistiken in der Tabelle der Parameterschätzwerte.

Gleichung

Verwenden Sie die Regressionsgleichung, um die Beziehung zwischen der Antwortvariablen und den Termen im Modell zu beschreiben. Die Regressionsgleichung ist eine algebraische Darstellung der Regressionslinie. Geben Sie den Wert jedes Prädiktors in die Gleichung ein, um den Mittelwert der Antwortvariablen zu berechnen. Im Gegensatz zur linearen Regression kann eine Gleichung für die nichtlineare Regression viele verschiedene Formen annehmen.

Bei nichtlinearen Gleichungen ist es häufig weniger intuitiv als bei linearen Gleichungen, die Effekte der einzelnen Prädiktoren auf die Antwortvariable zu ermitteln. Anders als bei den Parameterschätzwerten in linearen Modellen gibt es für Parameterschätzwerte in nichtlinearen Modellen keine einheitliche Interpretation. Die korrekte Interpretation für jeden Parameter hängt von der Modellfunktion und der Position des Parameters in der Formel ab. Wenn das nichtlineare Modell nur einen Prädiktor enthält, untersuchen Sie die Darstellung der Anpassungslinie, um die Beziehung zwischen dem Prädiktor und der Antwortvariablen zu erkennen.

Die Konvergenz gegen eine Lösung bedeutet nicht notwendigerweise eine optimale Anpassung des Modells oder eine minimale Summe der quadrierten Fehler (SSE). Aufgrund eines lokalen SSE-Minimums oder einer inkorrekten Modellfunktion kann der Algorithmus bei falschen Parameterwerten konvergieren. Daher ist es unerlässlich, die Parameterwerte, die Darstellung der Anpassungslinie und die Residuendiagramme zu untersuchen, um zu ermitteln, ob die Modellanpassung und die Parameterschätzwerte angemessen sind.

Interpretation

In diesen Ergebnissen sind ein Prädiktor und sieben Parameterschätzwerte vorhanden. Die Antwortvariable ist „Ausdehnung“, während die Prädiktorvariable die Temperatur auf der Kelvin-Skala ist. Die umfangreiche Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen der Antwortvariablen und den Prädiktoren. Der Effekt, den eine Erhöhung um 1 Grad Kelvin auf die Ausdehnung des Kupfers hat, hängt in hohem Maße vom der Ausgangstemperatur ab. Der Effekt der Temperaturänderungen auf die Kupferausdehnung kann nicht auf einfache Weise zusammengefasst werden. Untersuchen Sie die Darstellung der Anpassungslinie, um die Beziehung zwischen dem Prädiktor und der Antwortvariablen zu erkennen.

Wenn Sie einen Wert für die Temperatur in Kelvin in die Gleichung einsetzen, ist das Ergebnis der angepasste Wert für die Kupferausdehnung.

Gleichung Ausdehnung = (1,07764 - 0,122693 * Kelvin + 0,00408638 * Kelvin ** 2 - 1,42627e-006 * Kelvin ** 3) / (1 - 0,00576099 * Kelvin + 0,000240537 * Kelvin ** 2 - 1,23144e-007 * Kelvin ** 3)

Schätzen

Wenn der Algorithmus richtig gegen die Parameterwerte richtig konvergiert ist, minimieren die Parameterschätzwerte die Summe der quadrierten Fehler (SSE).

Die Konvergenz gegen eine Lösung bedeutet nicht notwendigerweise eine optimale Anpassung des Modells oder eine minimale Summe der quadrierten Fehler (SSE). Aufgrund eines lokalen SSE-Minimums oder einer inkorrekten Modellfunktion kann der Algorithmus bei falschen Parameterwerten konvergieren. Daher ist es unerlässlich, die Parameterwerte, die Darstellung der Anpassungslinie und die Residuendiagramme zu untersuchen, um zu ermitteln, ob die Modellanpassung und die Parameterschätzwerte angemessen sind.

Interpretation

Bei nichtlinearen Gleichungen ist es häufig weniger intuitiv als bei linearen Gleichungen, die Effekte der einzelnen Prädiktoren auf die Antwortvariable zu ermitteln. Anders als bei den Parameterschätzwerten in linearen Modellen gibt es für Parameterschätzwerte in nichtlinearen Modellen keine einheitliche Interpretation. Die korrekte Interpretation für jeden Parameter hängt von der Modellfunktion und der Position des Parameters in der Formel ab. Wenn das nichtlineare Modell nur einen Prädiktor enthält, untersuchen Sie die Darstellung der Anpassungslinie, um die Beziehung zwischen dem Prädiktor und der Antwortvariablen zu erkennen.

In diesen Ergebnissen sind ein Prädiktor und sieben Parameterschätzwerte vorhanden. Die Antwortvariable ist „Ausdehnung“, während die Prädiktorvariable die Temperatur auf der Kelvin-Skala ist. Die umfangreiche Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen der Antwortvariablen und den Prädiktoren. Der Effekt, den eine Erhöhung um 1 Grad Kelvin auf die Ausdehnung des Kupfers hat, hängt in hohem Maße vom der Ausgangstemperatur ab. Der Effekt der Temperaturänderungen auf die Kupferausdehnung kann nicht auf einfache Weise zusammengefasst werden. Untersuchen Sie die Darstellung der Anpassungslinie, um die Beziehung zwischen dem Prädiktor und der Antwortvariablen zu erkennen.

Parameterschätzwerte SE Parameter Schätzwert Schätzwert 95%-KI b1 1,07764 0,170702 ( 0,744913; 1,42486) b2 -0,12269 0,012000 (-0,147378; -0,09951) b3 0,00409 0,000225 ( 0,003655; 0,00455) b4 -0,00000 0,000000 (-0,000002; -0,00000) b5 -0,00576 0,000247 (-0,006246; -0,00527) b6 0,00024 0,000010 ( 0,000221; 0,00026) b7 -0,00000 0,000000 (-0,000000; -0,00000) Ausdehnung = (b1 + b2 * Kelvin + b3 * Kelvin ** 2 + b4 * Kelvin ** 3) / (1 + b5 * Kelvin + b6 * Kelvin ** 2 + b7 * Kelvin ** 3)

SE Schätzwert

Der Standardfehler des Schätzwerts (SE Schätzwert) ist ein Schätzwert der Streuung zwischen den Parameterschätzungen, die Sie erhalten würden, wenn Sie wiederholt Stichproben aus derselben Grundgesamtheit entnehmen würden.

Interpretation

Verwenden Sie den Standardfehler des Schätzwerts, um die Genauigkeit des Parameterschätzwerts zu beurteilen. Je geringer der Standardfehler ist, desto genauer ist der Schätzwert.

95%-KI

Diese Konfidenzintervalle (KIs) sind Bereiche von Werten, die wahrscheinlich den tatsächlichen Wert der einzelnen Parameter im Modell enthalten.

Da die Stichproben zufällig sind, ist es unwahrscheinlich, dass zwei Stichproben aus einer Grundgesamtheit identische Konfidenzintervalle ergeben. Wenn Sie jedoch viele Zufallsstichproben ziehen, enthält ein gewisser Prozentsatz der resultierenden Konfidenzintervalle den unbekannten Parameter der Grundgesamtheit. Der Prozentsatz dieser Konfidenzintervalle, die den Parameter enthalten, stellt das Konfidenzniveau des Intervalls dar.

Das Konfidenzintervall setzt sich aus den folgenden zwei Teilen zusammen:
Punktschätzung
Mit diesem einzelnen Wert wird der Parameter der Grundgesamtheit unter Verwendung der Stichprobendaten geschätzt. Das Konfidenzintervall wird um die Punktschätzung zentriert.
Fehlerspanne
Die Fehlerspanne definiert die Breite des Konfidenzintervalls, und sie wird durch die beobachtete Streuung in der Stichprobe, den Stichprobenumfang und das Konfidenzniveau bestimmt. Zum Berechnen der Obergrenze des Konfidenzintervalls wird die Fehlerspanne zur Punktschätzung addiert. Zum Berechnen der Untergrenze des Konfidenzintervalls wird die Fehlerspanne von der Punktschätzung subtrahiert.

Interpretation

Verwenden Sie die Konfidenzintervalle, um die einzelnen Parameterschätzwerte zu beurteilen.

Bei einem 95%-Konfidenzniveau können Sie sich beispielsweise zu 95 % sicher sein, dass das Konfidenzintervall den Wert des Parameters für die Grundgesamtheit enthält. Anhand des Konfidenzintervalls können Sie die praktische Signifikanz Ihrer Ergebnisse beurteilen. Bestimmen Sie anhand Ihrer Fachkenntnisse, ob das Konfidenzintervall Werte umfasst, die in der jeweiligen Situation von praktischer Signifikanz sind. Wenn das Intervall zu breit und damit nicht hilfreich ist, erwägen Sie, den Stichprobenumfang zu vergrößern.

Wenn Sie ermitteln müssen, ob ein Parameterschätzwert statistisch signifikant ist, verwenden Sie die Konfidenzintervalle für die Parameter. Der Parameter ist statistisch signifikant, wenn die Spannweite nicht den Wert der Nullhypothese enthält. Minitab kann keine p-Werte für die Parameter in der nichtlinearen Regression berechnen. Bei der linearen Regression ist der Wert der Nullhypothese für jeden Parameter null (kein Effekt), und der p-Wert basiert auf diesem Wert. Bei der nichtlinearen Regression hängt der richtige Wert der Nullhypothese jedoch von der Modellfunktion und der Position des Parameters in der Formel ab.

Bei einigen Datensätzen, Modellfunktionen und Konfidenzintervallen ist möglicherweise nur eine oder gar keine Konfidenzgrenze vorhanden. Minitab zeigt das Fehlen von Ergebnissen durch ein Sternchen im Sessionfenster an. Wenn dem Konfidenzintervall eine der Grenzen fehlt, führt ein niedrigeres Konfidenzniveau möglicherweise zu einem beidseitigem Intervall.

Korrelationsmatrix für Parameterschätzwerte

Die Matrix zeigt die Korrelation zwischen den Parameterschätzwerten an. Wenn Parameterschätzwerte hochgradig korreliert sind, ziehen Sie eine Reduzierung der Parameterzahl in Betracht, um das Modell zu vereinfachen.

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