Methoden und Formeln für Darstellung der Anpassungslinie

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Polynomiale Regressionsmodelle

Formel

Sie können die folgenden linearen, quadratischen oder kubischen Regressionsmodelle anpassen:

Modelltyp Ordnung Statistisches Modell
linear erste y = β0+ β1x + e
quadratisch zweite y = β0+ β1x + β2x2+ e
kubisch dritte y = β0+ β1x + β2x2+ β3x3+ e

Eine andere Möglichkeit, Krümmungen zu modellieren, besteht darin, anhand des log10 von x und/oder y für lineare, quadratische und kubische Modelle weitere Modelle zu erstellen. Außerdem lässt sich mit dem log10 von y eine Rechtsschiefe oder eine nicht konstante Varianz von Residuen reduzieren.

Bei der Anpassung von quadratischen oder kubischen Modellen standardisiert Minitab die Prädiktoren, bevor die Koeffizienten geschätzt werden. Mit der Standardisierung wird die Multikollinearität zwischen den Prädiktoren reduziert. Durch die Reduzierung wird sichergestellt, dass die Multikollinearität so gering ist, dass ein Ausschluss von Prädiktoren aus dem Modell durch Minitab unwahrscheinlich wird. Die Ausgabe zeigt die nicht standardisierten Koeffizienten in der ursprünglichen Einheit des Prädiktors.

Koeffizient (Koef)

Die Formel für den Koeffizienten oder die Steigung in der einfachen linearen Regression lautet:

Die Formel für den Schnittpunkt mit der y-Achse (b0) lautet:

Ausgedrückt unter Verwendung von Matrizen lautet die Formel zum Berechnen des Vektors von Koeffizienten in der multiplen Regression:

b = (X'X)-1X'y

Notation

BegriffBeschreibung
yii-ter beobachteter Wert der Antwortvariablen
Mittelwert der Antwortvariablen
xii-ter Prädiktorwert
Mittelwert des Prädiktors
XDesignmatrix
yMatrix der Antwortvariablen

S

Notation

BegriffBeschreibung
MSEMittleres Fehlerquadrat

R-Qd

Die Formel kann auch wie folgt ausgedrückt werden:

R2 kann auch berechnet werden als quadrierte Korrelation von y und .

Notation

BegriffBeschreibung
SSSumme der Quadrate
yAntwortvariable
angepasste Antwortvariable

R-Qd(kor)

Notation

BegriffBeschreibung
MSMittel der Quadrate
SSSumme der Quadrate
DFFreiheitsgrade

Freiheitsgrade (DF)

Die Freiheitsgrade für jede Komponente des Modells werden wie folgt ausgedrückt:

Quellen der Streuung DF
Regression p
Fehler n – p – 1
Gesamt n – 1

Wenn die Daten bestimmte Kriterien erfüllen, und das Modell mindestens einen stetigen Prädiktor oder mehrere kategoriale Prädiktoren enthält, verwendet Minitab einige Freiheitsgrade für den Test auf fehlende Anpassung. Die Kriterien lauten wie folgt:
  • Die Daten enthalten mehrere Beobachtungen mit denselben Prädiktorwerten.
  • Die Daten enthalten die richtigen Punkte zum Schützen von zusätzlichen Termen, die sich nicht im Modell befinden.

Notation

BegriffBeschreibung
n Anzahl der Beobachtungen
p Anzahl der Koeffizienten im Modell ohne die Konstante

Kor SS

Hierbei handelt es sich um die Summe der quadrierten Distanzen. SS Regression ist der Teil der Streuung, der durch das Modell erklärt wird. SS Fehler ist der Teil, der nicht durch das Modell erklärt wird und auf Fehler zurückzuführen ist. SS Gesamt gibt die Gesamtstreuung der Daten an.

Formel

SS Regression:
SS Fehler:
SS Gesamt:

Notation

BegriffBeschreibung
yi i-ter beobachteter Wert der Antwortvariablen
i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen
Mittelwert der Antwortvariablen

Kor MS – Fehler

Das mittlere Fehlerquadrat (das auch als MS Fehler oder MSE abgekürzt und als s2 angegeben wird) ist die Varianz um die angepasste Regressionslinie. Die Formel lautet wie folgt:

Notation

BegriffBeschreibung
yii-ter beobachteter Wert der Antwortvariablen
i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen
nAnzahl der Beobachtungen
pAnzahl der Koeffizienten im Modell, wobei die Konstante nicht gezählt wird

Kor MS – Regression

Die Formel für das Mittel der Quadrate (MS) der Regression lautet wie folgt:

Notation

BegriffBeschreibung
Mittelwert der Antwortvariablen
i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen
pAnzahl der Terme im Modell

Kor MS – Gesamt

Die Formel für den Gesamtmittelwert (MS) lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
Mittelwert der Antwortvariablen
yii-ter beobachteter Wert der Antwortvariablen
nAnzahl der Beobachtungen

F-Wert

Die Formeln für die F-Statistiken lauten wie folgt:

F(Regression)
F(Term)
F(Fehlende Anpassung)

Notation

BegriffBeschreibung
MS RegressionEin Maß der Streuung in der Antwortvariablen, die durch das aktuelle Modell erklärt wird.
MS FehlerEin Maß der Streuung, die durch das Modell nicht erklärt wird.
MS TermEin Maß der Streuung, die durch einen Term erklärt wird, nachdem die anderen Terme im Modell berücksichtigt wurden.
MS Fehlende AnpassungEin Maß der Streuung in der Antwortvariablen, die durch Hinzufügen weiterer Terme zum Modell modelliert werden könnte.
MS Reiner FehlerEin Maß der Streuung in replizierten Antwortdaten.

p-Wert – Tabelle der Varianzanalyse

Der p-Gesamtwert für das Modell gilt für den Test der Nullhypothese, die besagt, dass alle im Modell enthaltenen Koeffizienten mit Ausnahme des Koeffizienten für die Konstante gleich null sind. Der p-Wert ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das aus einer F-Verteilung mit den Freiheitsgraden (DF) wie folgt berechnet wird:

DF des Zählers
Summe der Freiheitsgrade für den Term oder die Terme im Test
DF des Nenners
Freiheitsgrade für Fehler

Formel

1 − P(Ffj)

Notation

BegriffBeschreibung
P(Ff)kumulative Verteilungsfunktion für die F-Verteilung
fF-Statistik für den Test

Residuum (Resid)

Notation

BegriffBeschreibung
eii-tes Residuum
i-ter beobachteter Wert der Antwortvariablen
i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen
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