Methoden und Formeln für Anpassungen und Residuen in Regressionsmodell anpassen

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Anpassung

Notation

BegriffBeschreibung
angepasster Wert
xkk-ter Term. Jeder Term kann ein einzelner Prädiktor, ein Polynomialterm oder ein Wechselwirkungsterm sein.
bkSchätzwert des k-ten Regressionskoeffizienten

Standardfehler des angepassten Werts (SE Anpassung)

Der Standardfehler des angepassten Werts in einem Regressionsmodell mit einem Prädiktor wird wie folgt ausgedrückt:

Der Standardfehler des angepassten Werts in einem Regressionsmodell mit mehreren Prädiktoren wird wie folgt ausgedrückt:

Notation

BegriffBeschreibung
s2mittleres Fehlerquadrat
nAnzahl der Beobachtungen
x0neuer Wert des Prädiktors
Mittelwert des Prädiktors
xii-ter Wert des Prädiktors
x0 Vektor von Werten, die die angepassten Werte erzeugen, ein Wert pro Spalte in der Designmatrix und beginnend mit dem Wert 1 für den konstanten Term
x'0transponierter neuer Vektor von Prädiktorwerten
XDesignmatrix

Residuen

Das Residuum gibt die Differenz zwischen einem beobachteten Wert und dem entsprechenden angepassten Wert an. Dieser Teil der Beobachtung wird nicht durch das Modell erklärt. Das Residuum einer Beobachtung lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
yii-ter beobachteter Wert der Antwortvariablen
i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen

Standardisiertes Residuum (Std. Resid)

Standardisierte Residuen werden auch als intern studentisierte Residuen bezeichnet.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
ei i-tes Residuum
hi i-tes Diagonalelement von X(X'X)–1X'
s2 mittleres Fehlerquadrat
XDesignmatrix
X'transponierte Designmatrix

Entfernte (studentisierte) Residuen

Diese werden auch als extern studentisierte Residuen bezeichnet. Die Formel lautet:

Die Formel kann auch wie folgt ausgedrückt werden:

In dem Modell, mit dem die i-te Beobachtung geschätzt wird, wird die i-te Beobachtung aus dem Datensatz entfernt. Daher kann die i-te Beobachtung den Schätzwert nicht beeinflussen. Jedes entfernte Residuum hat eine Student-t-Verteilung mit Freiheitsgraden.

Notation

BegriffBeschreibung
eii-tes Residuum
s(i)2mittlerer quadrierter Fehler, der ohne die i-te Beobachtung berechnet wurde
hi i-tes Diagonalelement von X(X'X)–1X'
nAnzahl der Beobachtungen
pAnzahl der Terme, einschließlich der Konstanten
SSESumme der Quadrate für Fehler
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