Was ist Orthogonalität?

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn die Summe der Produkte ihrer entsprechenden Elemente 0 beträgt. Betrachten Sie beispielsweise die folgenden Vektoren a und b:

Sie können die entsprechenden Elemente der Vektoren multiplizieren, um die folgenden Ergebnisse zu erhalten:

a*b = 2(–4) + 3(1) + 5(1) + 0(4) = –8 + 3 + 5 + 0 = 0

Daraus wird ersichtlich, dass die beiden Vektoren orthogonal sind.

Das Konzept der Orthogonalität ist in der Versuchsplanung wichtig, da eine Aussage zur Unabhängigkeit abgeleitet werden kann. Die experimentelle Analyse eines orthogonalen Versuchsplans ist im Allgemeinen recht einfach, da Sie jeden Haupteffekt und jede Wechselwirkung unabhängig schätzen können. Wenn Ihr Versuchsplan nicht orthogonal ist, entweder aufgrund des Versuchsplans oder durch zufälligen Datenverlust, ist die Interpretation möglicherweise nicht mehr so einfach.

Die Bedeutung des Konzepts wird anhand des folgenden Beispiels verdeutlicht. Betrachten Sie einen vollfaktoriellen 23-Versuchsplan mit acht Durchläufen.
A B C
1 –1 –1
1 –1 1
–1 –1 1
–1 1 –1
–1 1 1
–1 –1 –1
1 1 1
1 1 –1
Um nachzuweisen, dass jede Spalte (jeder Vektor) in Bezug auf die anderen Spalten orthogonal ist, multiplizieren Sie A*B, A*C und B*C.
  • A*B = 1(–1) +1(–1) – 1(–1) – 1(1) – 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(1) = –4 + 4 = 0
  • A*C = 1(–1) +1(1) – 1(1) – 1(–1) – 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(–1) = –4 + 4 = 0
  • B*C = –1(–1) – 1(1) – 1(1) + 1(–1) + 1(1) – 1(–1) + 1(1) + 1(–1) = –4 + 4 = 0

In gewisser Hinsicht wird Faktor A unabhängig von B und C geschätzt (und umgekehrt).

Die Schätzwerte für die Effekte und Koeffizienten bleiben unverändert, wenn Sie Wechselwirkungen aus dem Modell entfernen. Die sonstige Ausgabe ändert sich, wenn der Experimentierfehler (MSE) entsprechend mit mehr Freiheitsgraden korrigiert wird.

Fazit: Ein Versuchsplan ist orthogonal, wenn die Effekte eines beliebigen Faktors durch die Effekte der anderen Faktoren ausgeglichen werden (Summierung auf null). Die Orthogonalität stellt sicher, dass der Effekt eines Faktors oder einer Wechselwirkung separat vom Effekt anderer Faktoren oder Wechselwirkungen im Modell geschätzt werden kann.

Ermitteln, ob ein Versuchsplan orthogonal ist

Führen Sie die folgenden Schritte aus, um zu bestimmen, ob ein Versuchsplan orthogonal ist:
Hinweis

Wenn Sie einen faktoriellen Versuchsplan analysieren, der in nicht kodierten Einheiten angezeigt wird, wählen Sie zunächst Statistik > Versuchsplanung (DOE) > Versuchsplan anzeigen aus, wählen Sie Kodiert aus, und klicken Sie auf OK.

  1. Wählen Sie Statistik > Varianzanalyse (ANOVA) > Allgemeines lineares Modell oder Statistik > Versuchsplanung (DOE) > Faktoriell > Faktoriellen Versuchsplan analysieren aus, und vervollständigen Sie das Dialogfeld auf die übliche Weise.
    Hinweis

    Sie können diesen Vorgang auch für Wirkungsflächenversuchspläne, Taguchi-Versuchspläne und Mischungsversuchspläne ausführen. Wenn Sie bei einem Taguchi-Versuchsplan eine Versuchsplanmatrix speichern möchten, müssen Sie ein lineares Modell anpassen.

  2. Klicken Sie auf Speichern.
  3. Wählen Sie Versuchsplanmatrix aus. Klicken Sie in den einzelnen Dialogfeldern auf OK.
  4. Summieren Sie die Freiheitsgrade für alle Terme im Modell, mit Ausnahme des Fehlers. Die Freiheitsgrade sind in der Spalte DF der ANOVA-Tabelle in der Ausgabe im Sessionfenster enthalten.
  5. Wählen Sie Daten > Kopieren > Matrix in Spalten aus.
  6. Geben Sie im Feld Aus Matrix kopieren die Bezeichnung XMAT1 ein.
  7. Geben Sie unter Kopierte Daten speichern in In aktuellem Arbeitsblatt, in Spalten: einen Bereich von leeren Spalten ein, der ausreichend groß ist, um eine Spalte für jeden Freiheitsgrad im Modell sowie eine Spalte für den Schnittpunkt mit der y-Achse zu enthalten. (Wenn im Modell beispielsweise sieben Freiheitsgrade enthalten sind, benötigen Sie insgesamt acht Spalten, und Sie könnten C11-C18 eingeben.) Klicken Sie auf OK.
  8. Wählen Sie Statistik > Statistische Standardverfahren > Korrelation aus.
  9. Geben Sie im Feld Variablen den Bereich von Spalten aus Schritt 7 ein.
  10. Deaktivieren Sie p-Werte anzeigen. Klicken Sie auf OK.
  11. Suchen Sie in der im Sessionfenster angezeigten Matrix nach Termen, die ungleich null sind. Ein positiver oder negativer Wert verweist darauf, dass die beiden Spalten und ihre zugehörigen Terme nicht orthogonal sind.
    Hinweis

    Beim Analysieren eines faktoriellen Versuchsplans werden die Terme in der Versuchsplanmatrix in nicht kodierten Einheiten gespeichert, wenn das Arbeitsblatt nicht kodierte Einheiten enthält. Mit Statistik > Versuchsplanung (DOE) > Faktoriell > Faktoriellen Versuchsplan analysieren wird die Analyse in kodierten Einheiten durchgeführt. Beim Analysieren eines Wirkungsflächenversuchsplans werden die Terme in der Versuchsplanmatrix in kodierten oder nicht kodierten Einheiten gespeichert, je nachdem, welche Einheiten Sie für die Analyse der Daten festgelegt haben.

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