Methoden und Formeln für Optimalen Versuchsplan auswählen

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D-Optimalität

Mit dem Kriterium der D-Optimalität wird die Determinante der Varianz-Kovarianz-Matrix der Regressionskoeffizienten minimiert. Nachdem Sie das Modell angegeben haben, wählt Minitab aus einer Menge von potenziellen Punkten Versuchsplanpunkte aus, die das Kriterium der D-Optimalität optimieren. Die Zeilen der Versuchsplanspalten im Arbeitsblatt enthalten die Menge der potenziellen Versuchsplanpunkte. Beim Auswählen werden zwei Schritte ausgeführt:

  • Generieren eines Anfangsversuchsplans
  • Verbessern des Anfangsversuchsplans zum Aufbauen des endgültigen Versuchsplans

Auswählen eines optimalen Versuchsplans

Minitab wählt aus der Menge der potenziellen Punkte die Versuchsplanpunkte für den Anfangsversuchsplan aus. Der Algorithmus zur Auswahl dieser Punkt lässt sich im Unterdialogfeld Methoden festlegen. Sie können die sequenzielle Auswahl, Zufallsauswahl oder eine Kombination aus sequenzieller und Zufallsauswahl festlegen. In der Standardeinstellung wählt Minitab alle Versuchsplanpunkte sequenziell aus. Bei der sequentiellen Auswahl werden alle Punkte im Anfangsversuchsplan in einer Reihenfolge hinzugefügt, die zur maximalen Steigerung der D-Optimalität führt. Wenn Sie die Versuchsplanauswahl wiederholen und die Durchläufe in der Menge der potenziellen Punkte in der gleichen Reihenfolge vorliegen, kommt der Algorithmus zur gleichen Lösung.

Minitab verbessert den Anfangsversuchsplan dann durch Hinzufügen und Entfernen von Punkten, bis der endgültige Versuchsplan (auch als optimaler Versuchsplan bezeichnet) erreicht ist. Sie können die Verbesserungsmethode im Unterdialogfeld Methoden auswählen. Die folgenden Methoden sind verfügbar:
  • Austauschmethode. Minitab fügt zuerst die besten Punkte aus der Menge der potenziellen Punkte hinzu und verwirft dann die schlechtesten Punkte, bis die D-Optimalität des Versuchsplans nicht mehr verbessert werden kann. Sie können die Anzahl der auszutauschenden Punkte im Unterdialogfeld Methoden angeben.
  • Fedorov-Methode. Minitab tauscht Punktpaare gleichzeitig aus. Dies erfolgt durch Hinzufügen eines Punkts aus der Menge der potenziellen Punkte und Verwerfen eines anderen Punkts, so dass der Austausch zu einer maximalen Verbesserung der D-Optimalität führt. Dieser Vorgang wird solange fortgesetzt, bis der Versuchsplan nicht mehr verbessert werden kann.
  • Keine. In diesem Fall entspricht der endgültige Versuchsplan dem Anfangsversuchsplan.
In der Standardeinstellung verbessert Minitab den Versuchsplan durch Austauschen jeweils eines einzelnen Punkts.

Erweitern eines optimalen Versuchsplans

Der Anfangsversuchsplan kann auf eine der beiden folgenden Weisen erstellt werden:
  • Sie können alle Versuchsplanpunkte im Arbeitsblatt für den Anfangsversuchsplan verwenden.
  • Sie können in einer Indikatorspalte angeben, welche Versuchsplanpunkte und wie viele Replikationen der einzelnen Punkte im Anfangsversuchsplan enthalten sein sollen.
Beim Erweitern des Versuchsplans fügt Minitab sequenziell die „besten“ Punkte aus der Menge der potenziellen Punkte hinzu.
Minitab verbessert den Anfangsversuchsplan dann durch Hinzufügen und Entfernen von Punkten, bis der endgültige Versuchsplan (auch als optimaler Versuchsplan bezeichnet) erreicht ist. Sie können die Verbesserungsmethode im Unterdialogfeld Methoden auswählen. Die folgenden Methoden sind verfügbar:
  • Austauschmethode. Minitab fügt zuerst die besten Punkte aus der Menge der potenziellen Punkte hinzu und verwirft dann die schlechtesten Punkte, bis die D-Optimalität des Versuchsplans nicht mehr verbessert werden kann. Sie können die Anzahl der auszutauschenden Punkte im Unterdialogfeld Methoden angeben.
  • Fedorov-Methode. Minitab tauscht Punktpaare gleichzeitig aus. Dies erfolgt durch Hinzufügen eines Punkts aus der Menge der potenziellen Punkte und Verwerfen eines anderen Punkts, so dass der Austausch zu einer maximalen Verbesserung der D-Optimalität führt. Dieser Vorgang wird solange fortgesetzt, bis der Versuchsplan nicht mehr verbessert werden kann.
  • Unterdrücken der Verbesserung des Anfangsversuchsplans. In diesem Fall entspricht der endgültige Versuchsplan dem Anfangsversuchsplan.
In der Standardeinstellung verbessert Minitab den Versuchsplan durch Austauschen eines Punkts.

Während des Optimierungsvorgangs können dem endgültigen Versuchsplan durch Austausch potenzielle Versuchsplanpunkte hinzugefügt werden. Folglich kann der endgültige Versuchsplan doppelte Versuchsplanpunkte enthalten.

Tipp

Bei der numerischen Optimierung besteht immer die Gefahr, ein lokales Optimum anstelle eines globalen Optimums zu finden. Um dies zu vermeiden, können Sie mehrere Versuche des Optimierungsvorgangs ausgehend von unterschiedlichen Anfangsversuchsplänen durchführen. Es ist nur ein Versuch möglich, wenn Sie den Anfangsversuchsplan durch reine sequenzielle Auswahl generieren oder wenn Sie den Anfangsversuchsplan mit einer Indikatorspalte angeben.

Minitab identifiziert den Versuchsplan mit der höchsten D-Optimalität und führt für diesen Versuchsplan die folgenden Schritte aus:
  • Minitab erstellt eine Indikatorspalte (OptPunkt) im ursprünglichen Arbeitsblatt, die angibt, ob ein Punkt ausgewählt wurde und wie viele Replikationen dieser Versuchsplanpunkt aufweist.
  • Minitab kopiert die ausgewählten Versuchsplanpunkte in ein neues Arbeitsblatt.

Distanzbasierte Optimalität

Wenn Sie nicht vorab ein Modell auswählen möchten, ist es sinnvoll, die Versuchsplanpunkte gleichmäßig über den Versuchsplanraum auszubreiten. In diesem Fall bietet die distanzbasierte Methode eine Lösung zum Auswählen der Versuchsplanpunkte. Der Algorithmus für distanzbasierte Optimalität wählt Versuchsplanpunkte aus einer Menge potenzieller Versuchsplanpunkte aus, so dass die Punkte gleichmäßig über den Versuchsplanraum verteilt liegen.

Der Algorithmus für distanzbasierte Versuchspläne wendet keinen Austausch an. Außerdem repliziert der Algorithmus auch keine Punkte, wenn Sie einen optimalen Versuchsplan auswählen.

Auswählen eines optimalen Versuchsplans

Minitab wählt den potenziellen Punkt mit der größten euklidischen Distanz vom Ursprung (Wirkungsflächenversuchsplan) oder den Punkt, der am nächsten bei einer reinen Komponente (Mischungsversuchsplan) liegt, als Ausgangspunkt aus. Anschließend fügt Minitab schrittweise weitere Versuchsplanpunkte so hinzu, dass jeder neue Punkt so weit wie möglich von den bereits für den Versuchsplan ausgewählten Punkten entfernt liegt.

Erweitern eines optimalen Versuchsplans

Sie müssen in einer Indikatorspalte angeben, welche Punkte zum Hinzufügen zum ursprünglichen Versuchsplan zur Verfügung stehen. Anschließend fügt Minitab schrittweise weitere Versuchsplanpunkte so hinzu, dass jeder neue Punkt so weit wie möglich von den bereits für den Versuchsplan ausgewählten Punkten entfernt liegt.

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