Tabelle der kodierten Koeffizienten für Streuung analysieren

Hier finden Sie Definitionen und Anleitungen zur Interpretation für alle Statistiken in der Tabelle der kodierten Koeffizienten.

Effekt

Ein Effekt beschreibt die Größe und Richtung der Beziehung zwischen einem Term und einer Antwortvariablen. Minitab berechnet Effekte für Faktoren und Wechselwirkungen zwischen Faktoren.

Interpretation

Der Effekt für einen Faktor stellt die prognostizierte Änderung des Mittelwerts der Antwortvariablen dar, wenn der Faktor sich von seiner tiefen Stufe auf seine hohe Stufe ändert. Effekte entsprechen dem Doppelten des Werts der kodierten Koeffizienten. Das Vorzeichen des Effekts gibt die Richtung der Beziehung zwischen dem Term und der Antwortvariablen an.

Wenn eine Wechselwirkung eine größere Anzahl von Faktoren umfasst, lässt sich der Effekt schwerer interpretieren. Für Faktoren und Wechselwirkungen zwischen Faktoren bietet die Größe des Effekts in der Regel einen guten Anhaltspunkt, um die praktische Signifikanz des Effekts zu beurteilen, den ein Term auf die Antwortvariable hat.

Die Größe des Effekts liefert keinen Hinweis darauf, ob ein Term statistisch signifikant ist, da bei den Berechnungen für die Signifikanz auch die Streuung der Daten der Antwortvariablen berücksichtigt wird. Untersuchen Sie den p-Wert für den Term, um die statistische Signifikanz zu ermitteln.

Verhältniseffekt

Verhältniseffekte sind ein Maß für die praktische Signifikanz der Effekte eines Faktors. Der Verhältniseffekt stellt die proportionale Zu- oder Abnahme der Standardabweichung der Antwortvariablen bei einer Änderung des Faktors von der tiefen in die hohe Stufe dar. Je näher der Verhältniseffekt bei eins liegt, desto geringer ist der Effekt des Faktors.

Mit dem Verhältniseffekt wird das Verhältnis der Standardabweichung der Antwortvariablen auf der hohen Stufe des Faktors zur Standardabweichung der Antwortvariablen auf der tiefen Stufe des Faktors geschätzt. Der Verhältniseffekt wird auf einfache Weise durch Potenzieren des Effekts eines Faktors berechnet.

Interpretation

In diesem Beispiel:
  • Der Verhältniseffekt des Materials beträgt 0,3830. Dies bedeutet, dass die Standardabweichung bei Formel 2 für den Dämmstoff 38 % der Standardabweichung bei Formel 1 für den Dämmstoff beträgt. Da die Wechselwirkung zwischen Material und Einspritzdruck signifikant ist, kann der Haupteffekt für das Material nur unter Berücksichtigung des Wechselwirkungseffekts interpretiert werden.
  • Der Verhältniseffekt für die Wechselwirkung zwischen Material und Einspritzdruck beträgt 0,3709.

Das Ergebnis einer Änderung des Materials (Formel 2 anstelle von Formel 1) unter Beibehaltung des Einspritzdrucks kann prognostiziert werden, indem der Verhältniseffekt des Materials mit dem Verhältniseffekt der Wechselwirkung multipliziert oder durch den Verhältniseffekt der Wechselwirkung dividiert wird. Wenn sich der Einspritzdruck auf der tiefen Stufe befindet, dividieren Sie den Verhältniseffekt des Materials durch den Verhältniseffekt der Wechselwirkung. Das Ergebnis beträgt 0,3830/0,3709 = 1,0326, was einer geringfügigen Zunahme der Standardabweichung von etwa 3 % entspricht. Wenn sich der Einspritzdruck auf der hohen Stufe befindet, multiplizieren Sie die beiden Verhältniseffekte. Das Ergebnis beträgt 0,3830 * 0,3709 = 0,1421. Dies entspricht einer Abnahme der Standardabweichung von mehr als 85 % (1 – 0,1421 = 0,8579).

Wenn beide Faktoren auf die tiefe (oder die hohe) Stufe gesetzt sind, befindet sich der Wechselwirkungsterm auf der hohen Stufe (–1 * –1 = 1; 1 * 1 = 1). Dabei ist –1 die tiefe und 1 die hohe Stufe. Wenn ein Faktor auf die hohe und der andere auf die tiefe Stufe gesetzt ist, befindet sich der Wechselwirkungsterm auf der tiefen Stufe (–1 * 1 = –1). Das Ändern des Materials von der tiefen zur hohen Stufe bei gleichbleibendem Einspritzdruck (tiefe Stufe) ändert den Wechselwirkungsterm von hoch auf tief. Die zwei Verhältnisse funktionieren in unterschiedlicher Richtung, und durch Dividieren kann der Effekt berechnet werden. Wenn der Einspritzdruck auf der hohen Stufe steht, dann ändert sich bei Umstellung des Materials von der tiefen zur hohen Stufe auch der Wechselwirkungsterm von tief auf hoch. Für die Verhältnisse gilt die gleiche Richtung, und zur Ermittlung des Effekts werden diese multipliziert.

Kodierte Koeffizienten für Ln(Std) Term Effekt Verhältniseffekt Koef SE Koef t-Wert Konstante 0,3424 0,0481 7,12 Material -0,9598 0,3830 -0,4799 0,0481 -9,99 EinsprDruck -0,1845 0,8315 -0,0922 0,0481 -1,92 EinsprTemp 0,0555 1,0571 0,0278 0,0481 0,58 AbkühlTemp -0,1259 0,8817 -0,0629 0,0481 -1,31 Material*EinsprDruck -0,9918 0,3709 -0,4959 0,0481 -10,32 Material*EinsprTemp 0,1875 1,2062 0,0937 0,0481 1,95 Material*AbkühlTemp 0,0056 1,0056 0,0028 0,0481 0,06 EinsprDruck*EinsprTemp -0,0792 0,9239 -0,0396 0,0481 -0,82 EinsprDruck*AbkühlTemp -0,0900 0,9139 -0,0450 0,0481 -0,94 EinsprTemp*AbkühlTemp 0,0066 1,0066 0,0033 0,0481 0,07 Term p-Wert VIF Konstante 0,001 Material 0,000 1,00 EinsprDruck 0,113 1,00 EinsprTemp 0,589 1,00 AbkühlTemp 0,247 1,00 Material*EinsprDruck 0,000 1,00 Material*EinsprTemp 0,109 1,00 Material*AbkühlTemp 0,956 1,00 EinsprDruck*EinsprTemp 0,448 1,00 EinsprDruck*AbkühlTemp 0,392 1,00 EinsprTemp*AbkühlTemp 0,948 1,00

Koef

Der Koeffizient beschreibt die Größe und die Richtung der Beziehung zwischen einem Term im Modell und der Antwortvariablen. Um die Multikollinearität zwischen den Termen zu minimieren, werden alle Koeffizienten in kodierten Einheiten angegeben.

Interpretation

Der Koeffizient für einen Term stellt die Änderung des Mittelwerts der Antwortvariablen bei einem Anstieg des betreffenden Terms um eine kodierte Einheit dar, wenn alle übrigen Terme auf konstanten Werten gehalten werden. Das Vorzeichen des Koeffizienten gibt die Richtung der Beziehung zwischen dem Term und der Antwortvariablen an.

Die Größe des Koeffizienten beläuft sich auf die halbe Größe des Effekts. Der Effekt stellt die Änderung des prognostizierten Mittelwerts der Antwortvariablen dar, wenn ein Faktor sich von seiner tiefen Stufe auf seine hohe Stufe ändert.

Die Größe des Effekts bietet in der Regel einen guten Anhaltspunkt, um die praktische Signifikanz des Effekts eines Terms auf die Antwortvariable zu beurteilen. Die Größe des Effekts liefert keinen Hinweis darauf, ob ein Term statistisch signifikant ist, da bei den Berechnungen für die Signifikanz auch die Streuung der Daten der Antwortvariablen berücksichtigt wird. Untersuchen Sie den p-Wert für den Term, um die statistische Signifikanz zu ermitteln.

Terme, bei denen es sich nicht um Faktoren handelt, z. B. der Kovariaten-, Block- und Zentralpunktterm, weisen keine hohe und tiefe Stufe auf. Diese Terme haben keinen Effekt, jedoch einen Koeffizienten.
Kovariaten
Der Koeffizient für eine Kovariate liegt in der gleichen Einheit wie die Kovariate vor. Der Koeffizient stellt die Änderung des prognostizierten Mittelwerts der Antwortvariablen bei einer Zunahme der Kovariaten um eine Einheit dar. Wenn der Koeffizient negativ ist, nimmt der prognostizierte Mittelwert der Antwortvariablen bei einer Zunahme der Kovariaten ab. Wenn der Koeffizient positiv ist, nimmt der prognostizierte Mittelwert der Antwortvariablen bei einer Zunahme der Kovariaten zu. Da Kovariaten nicht kodiert und im Allgemeinen nicht orthogonal zu den Faktoren sind, nehmen die VIF-Werte bei Vorhandensein von Kovariaten in der Regel zu. Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt zum VIF.
Blöcke
Blöcke sind kategoriale Variablen mit dem (−1, 0, +1)-Kodierungsschema. Jeder Koeffizient stellt die Differenz zwischen dem Mittelwert der Antwortvariablen für den Block und dem Gesamtmittelwert der Antwortvariablen dar.
ZtrlPunkt
Zentralpunkte sind eine kategoriale Variable mit dem (0, 1)-Kodierungsschema. Die Referenzstufe dieser kategorialen Variablen ist 1, was den Daten an den Faktorpunkten des Versuchsplans entspricht. Die kategoriale Variable ist bei den Zentralpunkten des Versuchsplans gleich 0. In der Regel bestimmen Sie anhand des p-Werts, ob sich eine weitere Datenerfassung lohnt, um die quadratischen Effekte der Faktoren zu schätzen. Im Allgemeinen interpretieren Sie den Koeffizienten des Zentralpunktterms nicht, da der Term so viele quadratische Effekte in einer Aliasstruktur darstellt, wie Faktoren im Versuchsplan vorliegen.

SE Koef

Der Standardfehler des Koeffizienten ist ein Schätzwert der Streuung zwischen den Koeffizientenschätzwerten, die Sie erhalten würden, wenn Sie wiederholt Stichproben aus derselben Grundgesamtheit entnehmen würden. Bei der Berechnung wird angenommen, dass der Versuchsplan und die zu schätzenden Koeffizienten gleich bleiben, wenn Sie wiederholt Stichproben ziehen.

Interpretation

Verwenden Sie den Standardfehler des Koeffizienten, um die Genauigkeit des Schätzwerts für den Koeffizienten zu ermitteln. Je kleiner der Standardfehler, desto genauer ist der Schätzwert. Durch Dividieren des Koeffizienten durch seinen Standardfehler wird ein t-Wert berechnet. Wenn der dieser t-Statistik entsprechende p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau ist, schlussfolgern Sie, dass der Koeffizient statistisch signifikant ist.

t-Wert

Mit dem t-Wert wird das Verhältnis zwischen dem Koeffizienten und dem zugehörigen Standardfehler gemessen.

Interpretation

Minitab berechnet anhand des t-Werts den p-Wert, mit dem geprüft wird, ob sich der Koeffizient signifikant von 0 unterscheidet.

Anhand des t-Werts können Sie bestimmen, ob die Nullhypothese zurückgewiesen werden muss. Der p-Wert wird jedoch häufiger verwendet, da der Schwellenwert für die Zurückweisung der Nullhypothese unabhängig von den Freiheitsgraden ist. Weitere Informationen zum Verwenden des t-Werts finden Sie unter Verwenden des t-Werts, um zu bestimmen, ob die Nullhypothese zurückzuweisen ist.

Konfidenzintervall für Koeffizient (95%-KI)

Diese Konfidenzintervalle (KIs) sind Bereiche von Werten, die wahrscheinlich den tatsächlichen Wert des Koeffizienten für jeden Term im Modell enthalten.

Da die Stichproben zufällig sind, ist es unwahrscheinlich, dass zwei Stichproben aus einer Grundgesamtheit identische Konfidenzintervalle ergeben. Wenn Sie jedoch viele Zufallsstichproben ziehen, enthält ein gewisser Prozentsatz der resultierenden Konfidenzintervalle den unbekannten Parameter der Grundgesamtheit. Der Prozentsatz dieser Konfidenzintervalle, die den Parameter enthalten, stellt das Konfidenzniveau des Intervalls dar.

Das Konfidenzintervall setzt sich aus den folgenden zwei Teilen zusammen:
Punktschätzung
Mit diesem einzelnen Wert wird der Parameter der Grundgesamtheit unter Verwendung der Stichprobendaten geschätzt. Das Konfidenzintervall wird um die Punktschätzung zentriert.
Fehlerspanne
Die Fehlerspanne definiert die Breite des Konfidenzintervalls, und sie wird durch die beobachtete Streuung in der Stichprobe, den Stichprobenumfang und das Konfidenzniveau bestimmt. Zum Berechnen der Obergrenze des Konfidenzintervalls wird die Fehlerspanne zur Punktschätzung addiert. Zum Berechnen der Untergrenze des Konfidenzintervalls wird die Fehlerspanne von der Punktschätzung subtrahiert.

Interpretation

Verwenden Sie das Konfidenzintervall, um den Schätzwert des Koeffizienten der Grundgesamtheit für jeden Term im Modell zu beurteilen.

Bei einem 95%-Konfidenzniveau können Sie sich beispielsweise zu 95 % sicher sein, dass das Konfidenzintervall den Wert des Koeffizienten für die Grundgesamtheit enthält. Anhand des Konfidenzintervalls können Sie die praktische Signifikanz Ihrer Ergebnisse beurteilen. Bestimmen Sie anhand Ihrer Fachkenntnisse, ob das Konfidenzintervall Werte umfasst, die in der jeweiligen Situation von praktischer Signifikanz sind. Wenn das Intervall zu breit und damit nicht hilfreich ist, erwägen Sie, den Stichprobenumfang zu vergrößern.

z-Wert

Beim z-Wert handelt es sich um eine Teststatistik, mit der das Verhältnis zwischen dem Koeffizienten und dem zugehörigen Standardfehler gemessen wird. Der z-Wert wird angezeigt, wenn Sie die Maximum-Likelihood-Schätzmethode verwenden.

Interpretation

Minitab verwendet den z-Wert zum Berechnen des p-Werts, anhand dessen Sie eine Entscheidung über die statistische Signifikanz der Terme und des Modells treffen können.

Ein hinreichend weit von 0 entfernter z-Wert weist darauf hin, dass der Schätzwert des Koeffizienten sowohl groß als auch genau genug ist, um sich statistisch von 0 zu unterscheiden. Ein z-Wert, der nahe bei 0 liegt, weist hingegen darauf hin, dass der Schätzwert des Koeffizienten zu klein oder zu ungenau ist, um sicher sein zu können, dass der Term eine Auswirkung auf die Antwortvariable hat.

p-Wert – Koeffizient

Der p-Wert ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für die Anzeichen gegen die Annahme der Nullhypothese. Geringere Wahrscheinlichkeiten liefern stärkere Anzeichen dafür, dass die Nullhypothese nicht zutrifft.

Interpretation

Um zu bestimmen, ob sich ein Koeffizient statistisch von 0 unterscheidet, vergleichen Sie den p-Wert für den Term mit dem Signifikanzniveau, um die Nullhypothese auszuwerten. Die Nullhypothese besagt, dass der Koeffizient gleich 0 ist, was bedeutet, dass zwischen dem Term und der Antwortvariablen keine Assoziation besteht.

In der Regel ist ein Signifikanzniveau (als α oder Alpha bezeichnet) von 0,05 gut geeignet. Ein Signifikanzniveau von 0,05 bedeutet ein Risiko der Schlussfolgerung, dass der Koeffizient ungleich 0 ist, während er tatsächlich 0 ist, von 5 %.

p-Wert ≤ α: Die Assoziation ist statistisch signifikant
Wenn der p-Wert kleiner oder gleich dem Signifikanzniveau ist, können Sie schlussfolgern, dass eine statistisch signifikante Assoziation zwischen der Antwortvariablen und dem Term besteht.
p-Wert > α: Die Assoziation ist statistisch nicht signifikant
Wenn der p-Wert größer als das Signifikanzniveau ist, können Sie nicht schlussfolgern, dass eine statistisch signifikante Assoziation zwischen der Antwortvariablen und dem Term besteht. Es empfiehlt sich möglicherweise, dass Modell ohne den Term erneut anzupassen.
Wenn mehrere Prädiktoren ohne eine statistisch signifikante Assoziation mit der Antwortvariablen vorhanden sind, können Sie das Modell reduzieren, indem Sie Terme einzeln nacheinander entfernen. Weitere Informationen zum Entfernen von Termen aus dem Modell finden Sie unter Modellreduzierung.
Wenn ein Koeffizient statistisch signifikant ist, hängt die Interpretation von der Art des Terms ab. Die Interpretationen lauten wie folgt:
Faktoren
Wenn der Koeffizient für einen Faktor statistisch signifikant ist, können Sie schlussfolgern, dass der Koeffizient für den Faktor ungleich 0 ist.
Wechselwirkungen zwischen Faktoren
Wenn der Koeffizient für eine Wechselwirkung statistisch signifikant ist, können Sie schlussfolgern, dass die Beziehung zwischen einem Faktor und der Antwortvariablen von den anderen Faktoren im Term abhängt.
Kovariaten
Wenn der Koeffizient für eine Kovariate statistisch signifikant ist, können Sie schlussfolgern, dass die Assoziation zwischen der Antwortvariablen und der Kovariaten statistisch signifikant ist.
Blöcke
Wenn der Koeffizient für einen Block statistisch signifikant ist, können Sie schlussfolgern, dass sich der Mittelwert der Werte der Antwortvariablen im betreffenden Block vom Gesamtmittelwert der Antwortvariablen unterscheidet.
Zentralpunkt
Wenn der Koeffizient für einen Zentralpunkt statistisch signifikant ist, können Sie schlussfolgern, dass mindestens einer der Faktoren eine gekrümmte Beziehung mit der Antwortvariablen aufweist. Es empfiehlt sich, dem Versuchsplan Sternpunkte hinzuzufügen, um auf diese Weise die Krümmung zu modellieren.

VIF

Der Varianzinflationsfaktor (VIF) gibt an, wie groß die Inflation der Varianz eines Koeffizienten aufgrund der Korrelationen unter den Prädiktoren im Modell ist.

Interpretation

Verwenden Sie den VIF-Wert, um zu beschreiben, welcher Grad der Multikollinearität (Korrelation zwischen Prädiktoren) in einem Modell vorliegt. In den meisten faktoriellen Versuchsplänen sind alle VIF-Werte gleich 1, was darauf hinweist, dass die Prädiktoren keine Multikollinearität aufweisen. Aufgrund der abwesenden Multikollinearität kann die statistische Signifikanz leichter bestimmt werden. Die Interpretation der statistischen Signifikanz wird jedoch durch das Einbinden von Kovariaten in das Modell und das Auftreten misslungener Durchläufe während der Datenerfassung erschwert, da dies zwei gängige Gründe dafür sind, dass die VIF-Werte ansteigen. Interpretieren Sie den VIF anhand der folgenden Richtlinien:

VIF Status des Prädiktors
VIF = 1 Nicht korreliert
1 < VIF < 5 Mäßig korreliert
VIF > 5 Stark korreliert
Stark korrelierende Prädiktoren sind problematisch, da die Multikollinearität eine ansteigende Varianz der Regressionskoeffizienten bewirken kann. Instabile Koeffizienten können u. a. die folgenden Konsequenzen haben:
  • Die Koeffizienten sind anscheinend nicht statistisch signifikant, selbst wenn eine wichtige Beziehung zwischen dem Prädiktor und der Antwortvariablen besteht.
  • Die Koeffizienten für stark korrelierte Prädiktoren variieren erheblich von Stichprobe zu Stichprobe.
  • Das Entfernen von stark korrelierten Termen aus dem Modell hat schwerwiegende Auswirkungen auf die geschätzten Koeffizienten der anderen stark korrelierten Terme. Die Koeffizienten der stark korrelierten Terme können sogar ein falsches Vorzeichen aufweisen.

Gehen Sie mit Umsicht vor, wenn Multikollinearität vorliegt und Sie anhand der statistischen Signifikanz auswählen, welche Terme aus einem Modell entfernt werden sollen. Fügen Sie dem Modell jeweils nur einen Term hinzu bzw. entfernen Sie jeweils nur einen Term aus dem Modell. Überwachen Sie beim Ändern des Modells die Änderungen in den zusammenfassenden Statistiken sowie die Tests der statistischen Signifikanz.

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