Methoden und Formeln für Mehrfachvergleiche in Einfache ANOVA

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Minitab bietet fünf verschiedene Methoden zum Vergleichen mehrerer Faktormittelwerte in der einfachen Varianzanalyse: Tukey, Fisher, Dunnett, Hsu-MCB und Games-Howell. Die Formeln für diese Tests sind unten aufgeführt.

Notation

BegriffBeschreibung
Stichprobenmittelwert für die i-te Faktorstufe
Stichprobenmittelwert für die j-te Faktorstufe
Anzahl der Beobachtungen in Stufe i
rAnzahl der Stufen
szusammengefasste Standardabweichung oder Quadratwurzel von MSE
uFreiheitsgrade für Fehler
αsimultane Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art
α*individuelle Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art

Tukey:

Hierbei ist Q = oberes α-Perzentil der Verteilung der studentisierten Spannweiten mit r und nT - r Freiheitsgraden.

Verwenden Sie die folgende Formel, um die individuelle Irrtumswahrscheinlichkeit anhand der simultanen Irrtumswahrscheinlichkeit zu ermitteln:

Fisher:

Hierbei ist t = oberer α/2-Punkt der Student-t-Verteilung mit u DF.

Verwenden Sie die folgende Formel, um das simultane Konfidenzniveau anhand der individuellen Irrtumswahrscheinlichkeit zu ermitteln:

Dunnett:

Die Berechnung von d wird in Hsu1 auf Seite 63 beschrieben.

Hsu-MCB:

An dieser Stelle werden Formeln für das Szenario aufgeführt, in dem alle Gruppengrößen gleich n sind. Formeln für ungleiche Gruppengrößen finden Sie in Hsu1. Angenommen, der größte Mittelwert sei der beste Mittelwert, und Sie möchten das Konfidenzintervall des i-ten Mittelwerts minus dem größten der verbleibenden ermitteln.

Der untere Endpunkt ist null oder, wenn kleiner, gleich

Der obere Endpunkt ist null oder, wenn größer, gleich

Die Berechnung von d wird in Hsu1 auf Seite 83 beschrieben.

Wenn der kleinste der Stufenmittelwerte als bester gewählt wurde, sind die Formeln identisch; das Maximum wird jedoch durch das Minimum ersetzt.

Games-Howell und Welch-Test

Die Welch-Teststatistik wird wie folgt berechnet.

Der p-Wert für den Welch-Test ist eine Wahrscheinlichkeit für den oberen Randbereich einer F-Verteilung mit k – 1 Freiheitsgraden des Zählers, wobei k die Anzahl der X-Stufen ist und die Freiheitsgrade des Nenners wie folgt angegeben werden:

Das Vergleichsintervall für μiμj ist

Der kritische Wert basiert auf der studentisierten Spannweite (Q) für k Gruppen, wie die Tukey-Kramer-Intervalle. Für den Games-Howell-Test berechnet Minitab jedoch unterschiedliche Freiheitsgrade für jeden Vergleich:

Das t-Verhältnis zum Berechnen des korrigierten p-Werts ist gleich:

Dabei gilt Folgendes:

Der j-te Wert der Antwortvariablen in der i-ten Stufe des kategorialen Faktors ist gleich:

Yij, j = 1, ... , ni; i = 1, ... k

Der durchschnittliche Wert der Antwortvariablen auf der i-ten Stufe ist gleich:

Die Stichprobenvarianz ist gleich:

Die Gewichtung für Stufe i ist gleich:

Die Summe aller Gewichtungen ist gleich:

Der gewichtete Gesamtdurchschnitt der Antwortvariablen ist gleich:

Danksagung

Unser herzlicher Dank für die Unterstützung beim Entwickeln und Implementieren von Mehrfachvergleichen geht an Jason C. Hsu.

[1] J.C. Hsu (1996). Multiple Comparisons, Theory and Methods. Chapman & Hall.

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