Methoden und Formeln für Tests auf feste Effekte in Modell mit gemischten Effekten anpassen

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Tests von Termen mit festen Effekten

Bei den Tests der Terme mit festen Effekten handelt es sich um F-Tests. Die Nullhypothese für den Test hängt davon ab, ob sich der Test auf einen Term mit festem Faktor oder einen Kovariatenterm bezieht. Für einen Term mit einem festen Faktor besagt die Nullhypothese, dass der Term keine signifikante Auswirkung auf die Antwortvariable hat. Für einen Kovariatenterm besagt die Nullhypothese, dass zwischen der Antwortvariablen und dem Kovariatenterm keine Assoziation besteht.

Minitab bietet zwei Methoden zum Testen von Termen mit festem Effekt: die Kenward-Roger-Approximation und die Satterthwaite-Approximation. Weitere Informationen zur Kenward-Roger-Approximation finden Sie in Kenward und Roger.1 Weitere Informationen zur Satterthwaite-Approximation finden Sie in Giesbrecht und Burns 2 sowie in Fai und Cornelius. 3

Die Berechnung der Freiheitsgrade des Nenners für die F-Statistik und die Berechnung der F-Statistik unterscheiden sich. Die Berechnung der Freiheitsgrade des Zählers und die Ermittlung eines p-Werts für eine bestimmte F-Statistik sind für beide Methoden gleich.

Kenward-Roger-Approximation

Die Kenward-Roger-Approximation ist eine Methode zum Untersuchen der statistischen Signifikanz von Termen mit festen Effekten.

F-Statistik

Dabei gilt Folgendes:

Notation

BegriffBeschreibung
ldie Freiheitsgrade des Zählers, die der Anzahl der Parameter im zu testenden Term entsprechen
0die Matrix mit 0 Komponenten
Ildie Identitätsmatrix mit l-Dimension
c + 1die Anzahl der Varianzkomponenten
wrs(r, s)-te Komponente der asymptotischen Varianz-Kovarianz-Matrix von
V−1die Inverse der Varianz-Kovarianz-Matrix

Weitere Einzelheiten zur Notation finden Sie im Abschnitt „Methoden“.

Freiheitsgrade des Nenners

Dabei gilt Folgendes:

λ nach Kenward und Roger

Der Wert des λ nach Kenward und Roger hängt von zwei Bedingungen ab.
Wenn beide Bedingungen zutreffen, lautet die Formel wie folgt:

Wenn eine der Bedingungen nicht zutrifft, ist λ = 1.

Gemäß der Nullhypothese folgt Lambda × F einer asymptotischen F-Verteilung mit Freiheitsgraden des Zählers und Freiheitsgraden des Nenners. Diese Eigenschaft wird bei der Berechnung des p-Werts verwendet.

Satterthwaite-Approximation

Die Satterthwaite-Approximation ist eine Methode zum Untersuchen der statistischen Signifikanz von Termen mit festen Effekten.

F-Statistik

wobei L und die gleichen Definitionen wie in der Kenward-Roger-Approximation aufweisen.

Freiheitsgrade des Nenners

Der Prozess zum Bestimmen der Freiheitsgrade umfasst mehrere Schritte.

  1. Führen Sie die Spektralzerlegung für die Varianz des geschätzten Vektors des Parameters mit festem Effekt durch:

    Hierbei ist P eine orthogonale Matrix der Eigenvektoren und D ist eine Diagonalmatrix von Eigenwerten, beide jeweils mit Dimension l × l.

  2. Definieren Sie lr als r-te Zeile von P'L, r = 1, ..., l, und es sei

    wobei dr das r-te Diagonalelement von D, W die asymptotische Varianz-Kovarianz-Matrix von und gr der Gradientenvektor der folgenden Elemente sind:

    Dabei gilt Folgendes:

    i = 1, …, c und

  3. Sei

    wobei ist eine Indikatorfunktion zum Eliminieren von Termen mit

  4. Die Freiheitsgrade für den Nenner hängen vom Wert von E ab.

    • Wenn E > l, gilt für die Freiheitsgrade Folgendes:
    • Andernfalls sind DF des Nenners = 1

Freiheitsgrade des Zählers (DF des Zählers)

Die Freiheitsgrade für einen festen Effekt hängen vom Typ des Effekts ab.
Effekt DF
Fester Faktor
Kovariate 1
Wechselwirkungen, die feste Faktoren umfassen

Notation

BegriffBeschreibung
kdie Anzahl der Stufen im Term mit festem Faktor
mdie Anzahl der Faktoren in der Wechselwirkung

p-Wert – Tests auf feste Effekte

Der p-Wert wird mit dem folgenden Ausdruck berechnet:

Notation

BegriffBeschreibung
die kumulative Verteilungsfunktion der F-Verteilung, deren Freiheitsgrade gleich DF des Zählers bzw. DF des Nenners sind
der berechnete F-Wert für einen Term
1 Kenward, M. G. und Roger, J. H. (1997). Small Sample Inference for Fixed Effects from Restricted Maximum Likelihood. Biometrics, Vol 53, No. 3, S. 983-997 .
2 Giesbrecht, F. G. und Burns, J. C. (1985). Two-Stage Analysis Based on a Mixed Model: Large-Sample Approximation Theory and Small-Sample Simulation Results Biometrics, Vol. 41, No. 2, S. 477-486.
3 Fai, A. H. und Cornelius, P. L. (1996) Approximate F-Tests of Multiple Degree of Freedom Hypotheses in Generalized Least Squares Analyses of Unbalanced Split-Plot Experiments J. Statist. Comput. Simul. Vol. 54, S. 363-378
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