Methoden für Modell mit gemischten Effekten anpassen

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Das Modell mit gemischten Effekten und Log-Likelihood

Die allgemeine Form des Modells mit gemischten Effekten

Modelle mit gemischten Effekten enthalten sowohl feste Effekte als auch Zufallseffekte. Die allgemeine Form des Modells mit gemischten Effekten sieht wie folgt aus:

y =+ Z1μ1 + Z2μ2 + ... + Zcμc + ε

Notation

BegriffBeschreibung
y(n x 1)-Vektor von Werten der Antwortvariablen
xdie n x p-Designmatrix für die Terme der festen Effekte, pn
βein (p x 1)-Vektor von unbekannten Parametern
die n x mi-Designmatrix für den Zufallsterm im Modell
μiein mi x 1-Vektor von unabhängigen Variablen aus N(0, )
εein n x 1-Vektor von unabhängigen Variablen aus N(0, )
nAnzahl der Beobachtungen
pdie Anzahl der Parameter in
cdie Anzahl der Zufallsterme im Modell

Varianz-Kovarianz-Matrix

Auf Grundlage der Modellannahme für die allgemeine Form des Modells mit gemischten Effekten weist der Vektor der Antwortvariablen, y, eine multivariate Normalverteilung mit dem mittleren Vektor und die folgende Varianz-Kovarianz-Matrix auf:

V(σ2) = V(σ2, σ21, ... , σ2c) = σ2In + σ21Z1Z'1 + ... + σ2cZcZ'c

Dabei gilt Folgendes:

σ2 = (σ2, σ21, ... , σ2c)'

σ2, σ21, ... , σ2c werden als Varianzkomponenten bezeichnet.

Durch Faktorisieren ausgehend von der Varianz kann eine Darstellung von H(θ) gefunden werden, die sich in der Berechnung der Log-Likelihood von Modellen mit gemischten Effekten befindet.

V(σ2) = σ2H(θ) = σ2[In + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c]

Notation

BegriffBeschreibung
θi, das Varianzverhältnis des Zufallsterms über der Fehlervarianz

Log-Likelihood

Wenn das Modell einen Zufallsfaktor enthält, ergeben sich die Schätzwerte des unbekannten Parameters standardmäßig aus der Minimierung des zweifachen negativen Werts der beschränkten Log-Likelihood-Funktion. Die Minimierung entspricht der Maximierung der beschränkten Log-Likelihood-Funktion. Minitab minimiert die beschränkte Log-Likelihood-Funktion mit einem iterativen Algorithmus. Die Funktion zur Minimierung lautet:

Notation

BegriffBeschreibung
HIn + θ1Z1Z'1 + ... + θcZcZ'c
|H|die Determinante von H
H-1die Inverse von H
midie Anzahl der Stufen für den Zufallsterm
Varianzkomponente für Fehler
InIdentitätsmatrix mit n Zeilen und Spalten

Eingeschränkte Maximum-Likelihood-Schätzung (Restricted Maximum Likelihood, REML)

In der Standardeinstellung werden in Minitab Parameterschätzwerte berechnet, die die eingeschränkte Likelihood-Funktion maximieren; dies entspricht dem Minimieren der folgenden Funktion:
Zum Minimieren der Funktion bildet Minitab die Differentiale der Funktion in Bezug auf β, σ2 und θi und legt die Differentiale auf den Wert 0 fest:

wobei

Die algebraische Umstellung der ersten zwei Gleichungen für eine Auflösung der geschätzten Parameter hinsichtlich der Differentialbildung liefert die folgenden Gleichungen:
Das Derivat in Bezug auf kann nicht explizit aufgelöst werden für . Minitab verwendet die Newton-Methode zum Schätzen von und führt dabei die folgenden Schritte aus:
  1. Verwenden der MINQUE-Methode (quadratische erwartungstreue Schätzung mit minimaler Norm)12 der Varianzkomponenten, um die Anfangswerte von σ2 und θi zu berechnen.
  2. Schätzen von β und σ2 mit den Gleichungen für und .
  3. Ermitteln von θi mit der Newton-Methode, um L(β, σ2, θ) zu minimieren.
  4. Wiederholen Sie die Schritte 2 und 3 bis zum Erreichen der Konvergenz.
Die konvergierten Lösungen für sind die Schätzwerte für das Varianzverhältnis. Die Varianzkomponente für den Zufallsterm wird wie folgt ausgedrückt:

Notation

BegriffBeschreibung
tr(·)Spur der Matrix
X'Transposition von X
1 Rao, C. R. (1971 a). Estimation of variance covariance components – MINQUE theory. Journal of Multivariate Analysis 1, S. 257-275.
2 Rao, C. R. (1971 b). Minimum variance quadratic unbiased estimation of variance components. Journal of Multivariate Analysis 1, S. 445-456.
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