Methoden und Formeln für die MANOVA-Tests in Allgemeine MANOVA

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Wilk-Test

Die Teststatistik, Wilk-Lambda, wird wie folgt ausgedrückt:

mit pq und (rt – 2u) DF.

Notation

BegriffBeschreibung
HHypothesenmatrix
EFehlermatrix
pAnzahl der Antwortvariablen
qDF der Hypothese
vDF für E
smin (p, q)
m0,5 ( | p – q | – 1)
n0,5 (v – p – 1)
rv – 0,5 (p – q + 1)
u0,25(pq – 2)
t= Quadratwurzel ([p2 q2 – 4] / p2 + q2 – 5, wenn p2 + q2 – 5 > 0
t1

Seien λ1≥λ2≥λ3≥ . . . ≥λp die Eigenwerte von (E** – 1) * H. Die ersten drei Teststatistiken können entweder anhand von H und E oder dieser Eigenwerte ausgedrückt werden.

Die H-Matrix ist eine (p x p)-Matrix, die die Summe der Quadrate „zwischen“ auf der Diagonalen für jede der p Variablen enthält. Die H-Matrix wird wie folgt berechnet:

Die E-Matrix ist eine (p x p)-Matrix, die die Summe der Quadrate „innerhalb“ auf der Diagonalen für jede der p Variablen enthält. Die E-Matrix wird wie folgt berechnet:

In den ersten drei Tests ist die F-Statistik exakt, wenn s = 1 bzw. 2, andernfalls stellt sie eine Approximation dar. Minitab gibt eine Meldung aus, wenn es sich um einen annähernden Test handelt.

Lawley-Hotelling-Test

Die Teststatistik, die Lawley-Hotelling-Spur, wird wie folgt ausgedrückt:

mit s (2m + s + 1) und 2 (sn + 1) DF.

Notation

BegriffBeschreibung
HHypothesenmatrix
EFehlermatrix
pAnzahl der Antwortvariablen
qDF der Hypothese
vDF für E
smin (p, q)
m0,5 ( | p – q | – 1)
n0,5 (v – p – 1)
rv – 0,5 (p – q + 1)
u0,25(pq – 2)
t= Quadratwurzel ([p2 q2 – 4] / p2 + q2 – 5, wenn p2 + q2 – 5 > 0
t1

Seien λ1≥λ2≥λ3≥ . . . ≥λp die Eigenwerte von (E** – 1) * H. Die ersten drei Teststatistiken können entweder anhand von H und E oder dieser Eigenwerte ausgedrückt werden.

Die H-Matrix ist eine (p x p)-Matrix, die die Summe der Quadrate „zwischen“ auf der Diagonalen für jede der p Variablen enthält. Die H-Matrix wird wie folgt berechnet:

Die E-Matrix ist eine (p x p)-Matrix, die die Summe der Quadrate „innerhalb“ auf der Diagonalen für jede der p Variablen enthält. Die E-Matrix wird wie folgt berechnet:

In den ersten drei Tests ist die F-Statistik exakt, wenn s = 1 bzw. 2, andernfalls stellt sie eine Approximation dar. Minitab gibt eine Meldung aus, wenn es sich um einen annähernden Test handelt.

Pillai-Test

Die Teststatistik, die Pillai-Spur, wird wie folgt ausgedrückt:

Notation

BegriffBeschreibung
HHypothesenmatrix
EFehlermatrix
pAnzahl der Antwortvariablen
qDF der Hypothese
vDF für E
smin (p, q)
m0,5 ( | p – q | – 1)
n0,5 (v – p – 1)
rv – 0,5 (p – q + 1)
u0,25(pq – 2)
t= Quadratwurzel ([p2 q2 – 4] / p2 + q2 – 5, wenn p2 + q2 – 5 > 0
t1

Seien λ1≥λ2≥λ3≥ . . . ≥λp die Eigenwerte von (E** – 1) * H. Die ersten drei Teststatistiken können entweder anhand von H und E oder dieser Eigenwerte ausgedrückt werden.

Die H-Matrix ist eine (p x p)-Matrix, die die Summe der Quadrate „zwischen“ auf der Diagonalen für jede der p Variablen enthält. Die H-Matrix wird wie folgt berechnet:

Die E-Matrix ist eine (p x p)-Matrix, die die Summe der Quadrate „innerhalb“ auf der Diagonalen für jede der p Variablen enthält. Die E-Matrix wird wie folgt berechnet:

In den ersten drei Tests ist die F-Statistik exakt, wenn s = 1 bzw. 2, andernfalls stellt sie eine Approximation dar. Minitab gibt eine Meldung aus, wenn es sich um einen annähernden Test handelt.

Größte charakteristische Wurzel nach Roy

Hierbei handelt es sich um den größten Eigenwert, λ1. Zum Durchführen des Tests müssen Sie spezielle Diagramme (so genannte Heck-Diagramme) sowie die Parameter s, m, und n verwenden, um das Signifikanzniveau zu ermitteln.

Diese Diagramme finden Sie in Heck1.

Notation

BegriffBeschreibung
smin (p, q)
m0,5 ( | p – q | – 1)
n0,5 (v – p – 1)

Seien λ1≥λ2≥λ3≥ . . . ≥λp die Eigenwerte von (E** – 1) * H. Die ersten drei Teststatistiken können entweder anhand von H und E oder dieser Eigenwerte ausgedrückt werden.

  1. D. L. Heck (1960), „Charts of Some Upper Percentage Points of the Distribution of the Largest Characteristic Root“, The Annals of Statistics, S. 625–642.
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