Methoden und Formeln für die Regressionsbewertung in Allgemeine MANOVA

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Hebelwirkungen (Hoch)

Die Hebelwirkungen werden aus der „Dach-Matrix“ (Hat-Matrix H) berechnet, bei der es sich um eine n x n-Projektionsmatrix handelt:

Die Hebelwirkung der i-ten Beobachtung ist das i-te Diagonalelement hi von H. Wenn hi groß ist, weist die i-te Beobachtung ungewöhnliche Prädiktoren (X1i, X2i, ..., Xpi) auf. Das heißt, die Prädiktorwerte liegen weit entfernt vom mittleren Vektor , wobei als Maß die Mahalanobis-Distanz verwendet wird.

Hebelwirkungswerte liegen zwischen 0 und 1. Minitab kennzeichnet Beobachtungen mit Hebelwirkungswerten größer als 3p/n oder, falls kleiner, 0,99 in der Tabelle der ungewöhnlichen Beobachtungen mit einem X. Im Allgemeinen sollten Sie Werte mit großen Hebelwirkungen untersuchen.

Notation

BegriffBeschreibung
XVersuchsplanmatrix
hii-tes Diagonalelement der „Dach-Matrix“ (Hat-Matrix)
pAnzahl der Terme im Modell, einschließlich der Konstanten
nAnzahl der Beobachtungen

Cook-Distanz

Hierbei handelt es sich um das Gesamtmaß D der kombinierten Auswirkungen aller geschätzten Regressionskoeffizienten auf eine Beobachtung. Minitab berechnet D mit Hebelwirkungswerten und standardisierten Residuen; dabei wird berücksichtigt, ob eine Beobachtung in Bezug auf die x- und y-Werte ungewöhnlich ist. Beobachtungen mit großen D-Werten können Ausreißer sein.

Formel

Die Cook-Distanz ist der Abstand zwischen den Koeffizienten, der mit und ohne die i-te Beobachtung berechnet wurde. Minitab berechnet die Cook-Distanz, ohne dass bei jeder ausgelassenen Beobachtung eine neue Regressionsgleichung angepasst wird. Diese Berechnung lautet wie folgt:

Notation

BegriffBeschreibung
ei i-tes Residuum
hi i-tes Diagonalelement von
p Anzahl der Modellparameter, einschließlich der Konstanten
s 2 mittleres Fehlerquadrat
b Vektor der Koeffizienten
b(i) Vektor der Koeffizienten, der nach dem Entfernen der i-ten Beobachtung berechnet wird
X Versuchsplanmatrix

DFITS

Hiermit werden die Hebelwirkung und das studentisierte Residuum (entfernte t-Residuen) in einem Gesamtmaß zusammengefasst, das ausdrückt, wie ungewöhnlich eine Beobachtung ist. Mit DFITS wird der Einfluss der einzelnen Beobachtungen auf die angepassten Werte in Regressions- und ANOVA-Modellen gemessen. Bei Beobachtungen mit großen DFITS-Werten handelt es sich möglicherweise um Ausreißer.

 DFITS stellt die ungefähre Anzahl der Standardabweichungen dar, um die sich der angepasste Wert ändert, wenn je eine Beobachtung aus dem Datensatz entfernt und das Modell erneut angepasst wird. Minitab kann den DFITS-Wert berechnen, ohne dass bei jeder entfernten Beobachtung eine neue Regressionsgleichung angepasst wird.

Formel

Notation

BegriffBeschreibung
ei i-tes Residuum
hi i-tes Diagonalelement von
X Versuchsplanmatrix
i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen
angepasster Wert, berechnet ohne die i-te Beobachtung
MSE (i) mittlerer quadrierter Fehler, berechnet ohne die i-te Beobachtung
n Anzahl der Beobachtungen
p Anzahl der Modellparameter
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