Methoden und Formeln für die Varianzanalyse in Allgemeine MANOVA

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Freiheitsgrade (DF)

Die Freiheitsgrade für jede Komponente des Modells werden wie folgt ausgedrückt:

Quellen der Streuung DF
Faktor ki – 1
Kovariaten und Wechselwirkungen zwischen Kovariaten 1
Wechselwirkungen, die Faktoren umfassen
Regression p
Fehler n p – 1
Gesamt n – 1

Wenn die Daten bestimmte Kriterien erfüllen und das Modell mindestens einen stetigen Prädiktor oder mehrere kategoriale Prädiktoren enthält, verwendet Minitab einige Freiheitsgrade für den Test auf fehlende Anpassung. Die Kriterien lauten wie folgt:
  • Die Daten enthalten mehrere Beobachtungen mit denselben Prädiktorwerten.
  • Die Daten enthalten die richtigen Punkte zum Schätzen weiterer Terme, die nicht im Modell enthalten sind.

Notation

BegriffBeschreibung
kiAnzahl der Stufen im i-ten Faktor
mAnzahl der Faktoren
n Anzahl der Beobachtungen
p Anzahl der Koeffizienten im Modell, wobei die Konstante nicht gezählt wird

Summe der Quadrate (SS)

In Bezug auf Matrizen lauten die Formeln für die verschiedenen Summen der Quadrate wie folgt:

Minitab schlüsselt die Komponenten der Summe der Quadrate der Regression bzw. der Behandlungen in den Teil der Streuung auf, der durch die einzelnen Terme erklärt wird, wobei sowohl die sequenzielle Summe der Quadrate als auch die korrigierte Summe der Quadrate verwendet werden.

Notation

BegriffBeschreibung
bVektor von Koeffizienten
XDesignmatrix
YVektor von Werten der Antwortvariablen
nAnzahl der Beobachtungen
J(n x n)-Matrix von 1s

Sequenzielle Summe der Quadrate

Minitab schlüsselt die Varianzkomponenten der Summe der Quadrate der Regression bzw. der Behandlungen in sequenzielle Summen der Quadrate für die einzelnen Faktoren auf. Die sequenziellen Summen der Quadrate hängen von der Reihenfolge ab, in der die Faktoren bzw. Prädiktoren in das Modell aufgenommen wurden. Die sequenzielle Summe der Quadrate ist der eindeutige Anteil der Summe der Quadrate der Regression, der durch einen Faktor erklärt wird, nachdem alle zuvor aufgenommenen Faktoren erklärt wurden.

Wenn beispielsweise ein Modell mit den drei Faktoren bzw. Prädiktoren x1, x2 und x3 vorhanden ist, zeigt die sequenzielle Summe der Quadrate für x2, wie viel der verbleibenden Streuung durch x2 erklärt wird, nachdem x1 bereits in das Modell aufgenommen wurde. Wenn Sie eine andere Sequenz der Faktoren erhalten möchten, müssen Sie die Analyse wiederholen und dabei die Faktoren in einer anderen Reihenfolge aufnehmen.

Korrigierte Summe der Quadrate

Die korrigierte Summe der Quadrate hängt nicht von der Reihenfolge ab, in der die Terme in das Modell aufgenommen wurden. Die korrigierte Summe der Quadrate ist der Teil der Streuung, der durch einen Term erklärt wird, sofern alle anderen Terme im Modell enthalten sind, und zwar unabhängig von der Reihenfolge, in der die Terme in das Modell aufgenommen wurden.

Wenn beispielsweise ein Modell mit den drei Faktoren x1, x2 und x3 vorliegt, zeigt die korrigierte Summe der Quadrate für x2, wie viel der verbleibenden Streuung durch den Term für x2 erklärt wird, sofern die Terme für x1 und x3 bereits im Modell enthalten sind.

Die Berechnungen für die korrigierten Summen der Quadrate für drei Faktoren lauten wie folgt:

  • SSR(x3 | x1, x2) = SSE (x1, x2) – SSE (x1, x2, x3) oder
  • SSR(x3 | x1, x2) = SSR (x1, x2, x3) – SSR (x1, x2)

wobei SSR(x3 | x1, x2) die korrigierte Summe der Quadrate für x3 ist, sofern x1 und x2 im Modell enthalten sind.

  • SSR(x2, x3 | x1) = SSE (x1) – SSE (x1, x2, x3) oder
  • SSR(x2, x3 | x1) = SSR (x1, x2, x3) – SSR (x1)

wobei SSR(x2, x3 | x1) die korrigierte Summe der Quadrate für x2 und x3 ist, sofern x1 im Modell enthalten ist.

Sie können diese Formeln erweitern, wenn mehr als drei Faktoren im Modell vorhanden sind1.

  1. J. Neter, W. Wasserman und M. H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Kor MS – Regression

Die Formel für das Mittel der Quadrate (MS) der Regression lautet wie folgt:

Notation

BegriffBeschreibung
Mittelwert der Antwortvariablen
i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen
pAnzahl der Terme im Modell

Kor MS – Fehler

Das mittlere Fehlerquadrat (das auch als MS Fehler oder MSE abgekürzt und als s2 angegeben wird) ist die Varianz um die angepasste Regressionslinie. Die Formel lautet wie folgt:

Notation

BegriffBeschreibung
yii-ter beobachteter Wert der Antwortvariablen
i-ter angepasster Wert der Antwortvariablen
nAnzahl der Beobachtungen
pAnzahl der Koeffizienten im Modell, wobei die Konstante nicht gezählt wird

F

Wenn alle Faktoren im Modell fest sind, hängt die Berechnung der F-Statistik wie folgt vom Gegenstand des Hypothesentests ab:

F(Term)
F(fehlende Anpassung)

Wenn Zufallsfaktoren im Modell enthalten sind, wird F mit dem erwarteten Mittel der Quadrate für jeden Term bestimmt. Weitere Informationen finden Sie in Neter et al.1.

Notation

BegriffBeschreibung
Kor MS TermEin Maß der Streuung, die durch einen Term erklärt wird, nachdem die anderen Terme im Modell berücksichtigt wurden.
MS FehlerEin Maß der Streuung, die durch das Modell nicht erklärt wird.
MS Fehlende AnpassungEin Maß der Streuung in der Antwortvariablen, die durch Hinzufügen weiterer Terme zum Modell modelliert werden könnte.
MS Reiner FehlerEin Maß der Streuung in replizierten Antwortdaten.
  1. J. Neter, W. Wasserman und M. H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

p-Wert – Tabelle der Varianzanalyse

Der p-Gesamtwert für das Modell gilt für den Test der Nullhypothese, die besagt, dass alle im Modell enthaltenen Koeffizienten mit Ausnahme des Koeffizienten für die Konstante gleich null sind. Der p-Wert ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das aus einer F-Verteilung mit den Freiheitsgraden (DF) wie folgt berechnet wird:

DF des Zählers
Summe der Freiheitsgrade für den Term oder die Terme im Test
DF des Nenners
Freiheitsgrade für Fehler

Formel

1 − P(Ffj)

Notation

BegriffBeschreibung
P(Ff)kumulative Verteilungsfunktion für die F-Verteilung
fF-Statistik für den Test

p-Wert – Test auf fehlende Anpassung

Dieser p-Wert gilt für den Test der Nullhypothese, dass die Koeffizienten für alle Terme, die aus diesen Daten geschätzt werden können und nicht im im Modell enthalten sind, gleich 0 sind. Der p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit aus einer F-Verteilung an, deren Freiheitsgrade (DF) wie folgt ausgedrückt werden:
DF des Zählers
Freiheitsgrade für fehlende Anpassung
DF des Nenners
Freiheitsgrade für reine Fehler

Formel

1 − P(Ffj)

Notation

BegriffBeschreibung
P(Ffj)kumulative Verteilungsfunktion für die F-Verteilung
fjF-Statistik für den Test
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