Methoden und Formeln für Zufallsfaktoren und gemischte Modelle in Allgemeines lineares Modell anpassen

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Varianzkomponenten

Minitab berechnet nur für Zufallsfaktoren Varianzkomponenten. Die Formeln werden anhand eines Modells mit zwei Zufallsfaktoren veranschaulicht.

Hierbei sind αi, βj , (αβ)ij und εijk unabhängige Zufallsvariablen. Die Variablen sind normalverteilt mit dem Mittelwert null, und die Varianzen werden durch diese Formeln ausgedrückt:

Diese Varianzen stellen die Varianzkomponenten dar. Testen Sie in diesem Fall die Hypothese, dass die Varianzkomponenten gleich null sind.

Für ein uneingeschränktes gemischtes Modell mit einem festen Faktor A und einem Zufallsfaktor B wird das Modell mit folgender Formel beschrieben:

Hierbei sind αi feste Effekte und βj, (αβ)ij sowie εijk nicht korrelierte Zufallsvariablen mit dem Mittelwert null und den folgenden Varianzen:

Bei diesen Varianzen handelt es sich um die Varianzkomponenten. Σα i = 0 und Σ(αβ)ij = 0 für jedes j.

Diese Informationen beziehen sich auf balancierte Modelle. Informationen zu nicht balancierten bzw. komplexeren Modellen finden Sie in Montgomery1 und Neter2.

  1. D. C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition. John Wiley & Sons.
  2. J. Neter, W. Wasserman und M. H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Erwartetes Mittel der Quadrate

Die Formeln für das erwartete Mittel der Quadrate für ein Modell mit Zufallseffekten und den zwei Faktoren A und B lauten wie folgt:

Die Formeln für das erwartete Mittel der Quadrate für ein uneingeschränktes gemischtes Modell mit einem festen Faktor A und einem Zufallsfaktor B lauten wie folgt:

Die allgemeinen Regeln zum Berechnen des erwarteten Mittels der Quadrate und Informationen zu nicht balancierten bzw. komplexeren Modellen finden Sie in Montgomery1 und Neter2.

  1. D. C. Montgomery (1991). Design and Analysis of Experiments, Third Edition. John Wiley & Sons.
  2. J. Neter, W. Wasserman und M. H. Kutner (1985). Applied Linear Statistical Models, Second Edition. Irwin, Inc.

Notation

BegriffBeschreibung
bAnzahl der Stufen in Faktor B
aAnzahl der Stufen in Faktor A
nAnzahl der Beobachtungen
σ2geschätzte Varianz des Modells
geschätzte Varianz von A
geschätzte Varianz von B
geschätzte Varianz von AB
feste Effekte von A

F-Statistik für Modelle mit Zufallsfaktoren

So wird die F-Statistik in der ANOVA-Ausgabe berechnet

Jede F-Statistik stellt ein Verhältnis von Mitteln der Quadrate dar. Der Zähler ist das Mittel der Quadrate für den Term. Der Nenner wird so gewählt, dass sich der erwartete Wert des Mittels der Quadrate im Zähler vom erwarteten Wert des Mittels der Quadrate im Nenner nur durch den relevanten Effekt unterscheidet. Der Effekt für einen Zufallsterm wird durch die Varianzkomponente des Terms dargestellt. Der Effekt für einen festen Term wird durch die Summe der Quadrate der diesem Term entsprechenden Modellkomponenten dividiert durch seine Freiheitsgrade dargestellt. Daher weist eine hohe F-Statistik auf einen signifikanten Effekt hin.

Wenn alle Terme im Modell fest sind, ist der Nenner für jede F-Statistik das mittlere Fehlerquadrat (MSE). Für Modelle, die Zufallsterme enthalten, ist MSE hingegen nicht immer das richtige Mittel der Quadrate. Anhand des erwarteten Mittels der Quadrate (EMS) kann bestimmt werden, welches für den Nenner geeignet ist.

Beispiel

Angenommen, Sie haben eine ANOVA mit dem festen Faktor „Bildschirm“ und dem Zufallsfaktor „Techniker“ durchgeführt, und Sie erhalten für das EMS die folgende Ausgabe:
Quelle Erwartetes Mittel der Quadrate für jeden Term
(1) Bildschirm (4) + 2,0000(3) + Q[1]
(2) Techniker (4) + 2,0000(3) + 4,0000(2)
(3) Bildschirm*Techniker (4) + 2,0000(3)
(4) Fehler (4)

Eine Zahl in Klammern gibt einen Zufallseffekt an, der dem neben der Quellennummer aufgelisteten Term zugeordnet ist. (2) stellt den Zufallseffekt von „Techniker“ dar, (3) den Zufallseffekt der Wechselwirkung „Bildschirm*Techniker“ und (4) den Zufallseffekt von „Fehler“. Das EMS für „Fehler“ ist der Effekt des Fehlerterms. Zudem ist das EMS für „Bildschirm*Techniker“ der Effekt des Fehlerterms zuzüglich des doppelten Effekts der Wechselwirkung „Bildschirm*Techniker“.

Zum Berechnen der F-Statistik für „Bildschirm*Techniker“ wird das Mittel der Quadrate für „Bildschirm*Techniker“ durch das Mittel der Quadrate des Fehlers dividiert, so dass sich der erwartete Wert des Zählers (EMS für „Bildschirm*Techniker“ = (4) + 2,0000(3)) vom erwarteten Wert des Nenners (EMS für „Fehler“ = (4)) nur durch den Effekt der Wechselwirkung (2,0000(3)) unterscheidet. Daher zeigt eine hohe F-Statistik eine signifikante Wechselwirkung „Bildschirm*Techniker“ an.

Eine Zahl mit Q[ ] gibt den festen Effekt für den Term an, der neben der Quellennummer aufgelistet ist. So ist Q[1] beispielsweise der feste Effekt von „Bildschirm“. Das EMS für „Bildschirm“ ist der Effekt des Fehlerterms zuzüglich des doppelten Effekts der Wechselwirkung „Bildschirm*Techniker“ plus ein konstantes Vielfaches des Effekts von „Bildschirm“. Q[1] ist gleich (b*n * sum((Koeffizienten für Stufen von „Bildschirm“)**2)) dividiert durch (a – 1), wobei a und b die Anzahl der Stufen von „Bildschirm“ und „Techniker“ sind und n die Anzahl der Replikationen angibt.

Zum Berechnen der F-Statistik für „Bildschirm“ wird das Mittel der Quadrate für „Bildschirm“ durch das Mittel der Quadrate für „Bildschirm*Techniker“ dividiert, so dass sich der erwartete Wert des Zählers (EMS für „Bildschirm“ = (4) + 2,0000(3) + Q[1]) vom erwarteten Wert des Nenners (EMS für „Bildschirm*Techniker“ = (4) + 2,0000(3)) nur durch den Effekt von „Bildschirm“ (Q[1]) unterscheidet. Daher weist eine hohe F-Statistik auf einen signifikanten Effekt von „Bildschirm“ hin.

Weshalb enthält die ANOVA-Ausgabe ein „x“ neben einem p-Wert in der ANOVA-Tabelle sowie die Beschriftung „Kein genauer F-Test“?

In einem genauen F-Test für einen Term unterscheidet sich der erwartete Wert des Mittels der Quadrate für den Zähler vom erwarteten Wert des Mittels der Quadrate für den Nenner nur durch die Varianzkomponente bzw. den festen Faktor von Interesse.

Gelegentlich kann ein solches Mittel der Quadrate jedoch nicht berechnet werden. In einem solchen Fall verwendet Minitab ein Mittel der Quadrate, das zu einem annähernden F-Test führt, und zeigt ein „x“ neben dem p-Wert an, um anzugeben, dass der F-Test nicht genau ist.

Angenommen, Sie haben eine ANOVA mit dem festen Faktor „Zusatz“ und dem Zufallsfaktor „See“ durchgeführt, und Sie erhalten die folgende Ausgabe für das erwartete Mittel der Quadrate (EMS):
Quelle Erwartetes Mittel der Quadrate für jeden Term
(1) Zusatz (4) + 1,7500(3) + Q[1]
(2) See (4) + 1,7143(3) + 5,1429(2)
(3) Zusatz*See (4) + 1,7500(3)
(4) Fehler (4)

Die F-Statistik für „Zusatz“ ist das Mittel der Quadrate für „Zusatz“ dividiert durch das Mittel der Quadrate für die Wechselwirkung „Zusatz*See“. Wenn der Effekt für „Zusatz“ sehr klein ist, ist der erwartete Wert des Zählers gleich dem erwarteten Wert des Nenners. Dies ist ein Beispiel für einen genauen F-Test.

Beachten Sie jedoch, dass für einen sehr kleinen Effekt von „See“ kein Mittel der Quadrate vorliegt, bei dem der erwartete Wert des Zählers gleich dem erwarteten Wert des Nenners ist. Daher verwendet Minitab einen annähernden F-Test. In diesem Beispiel wird das Mittel der Quadrate für „See“ durch das Mittel der Quadrate für die Wechselwirkung „Zusatz*See“ dividiert. Dadurch wird ein erwarteter Wert des Zählers erhalten, der annähernd gleich dem des Nenners ist, wenn der Effekt von „See“ sehr klein ist.

Informationen zur Meldung „Nenner von F-Test ist null oder nicht definiert“

Minitab zeigt aus einem der folgenden Gründe eine Fehlermeldung an, dass der Nenner des F-Tests null oder nicht definiert ist:
  • Für den Fehler ist nicht mindestens ein Freiheitsgrad vorhanden.
  • Die korrigierten MS-Werte sind sehr klein, und damit ist keine ausreichende Genauigkeit zur Anzeige der F-Statistik und der p-Werte gegeben. Mögliche Problemumgehung: Multiplizieren Sie die Antwortspalte mit 10. Führen Sie anschließend dasselbe Regressionsmodell aus, wobei Sie jedoch diese neue Antwortspalte als Antwortvariable verwenden.

    Hinweis

    Das Multiplizieren der Werte der Antwortvariablen mit 10 wirkt sich nicht auf die F-Statistik und die p-Werte aus, die Minitab in der Ausgabe anzeigt. Die Position des Dezimalkommas in der übrigen Ausgabe ist jedoch betroffen, insbesondere die Spalten für die sequenzielle Summe der Quadrate, Kor SS, Kor MS, Anpassung, Standardfehler der Anpassungen und Residuen.

So wird die F-Statistik in der ANOVA-Ausgabe berechnet

Jede F-Statistik stellt ein Verhältnis von Mitteln der Quadrate dar. Der Zähler ist das Mittel der Quadrate für den Term. Der Nenner wird so gewählt, dass sich der erwartete Wert des Mittels der Quadrate im Zähler vom erwarteten Wert des Mittels der Quadrate im Nenner nur durch den relevanten Effekt unterscheidet. Der Effekt für einen Zufallsterm wird durch die Varianzkomponente des Terms dargestellt. Der Effekt für einen festen Term wird durch die Summe der Quadrate der diesem Term entsprechenden Modellkomponenten dividiert durch seine Freiheitsgrade dargestellt. Daher weist eine hohe F-Statistik auf einen signifikanten Effekt hin.

Wenn alle Terme im Modell fest sind, ist der Nenner für jede F-Statistik das mittlere Fehlerquadrat (MSE). Für Modelle, die Zufallsterme enthalten, ist MSE hingegen nicht immer das richtige Mittel der Quadrate. Anhand des erwarteten Mittels der Quadrate (EMS) kann bestimmt werden, welches für den Nenner geeignet ist.

Beispiel

Angenommen, Sie haben eine ANOVA mit dem festen Faktor „Bildschirm“ und dem Zufallsfaktor „Techniker“ durchgeführt, und Sie erhalten für das EMS die folgende Ausgabe:
Quelle Erwartetes Mittel der Quadrate für jeden Term
(1) Bildschirm (4) + 2,0000(3) + Q[1]
(2) Techniker (4) + 2,0000(3) + 4,0000(2)
(3) Bildschirm*Techniker (4) + 2,0000(3)
(4) Fehler (4)

Eine Zahl in Klammern gibt einen Zufallseffekt an, der dem neben der Quellennummer aufgelisteten Term zugeordnet ist. (2) stellt den Zufallseffekt von „Techniker“ dar, (3) den Zufallseffekt der Wechselwirkung „Bildschirm*Techniker“ und (4) den Zufallseffekt von „Fehler“. Das EMS für „Fehler“ ist der Effekt des Fehlerterms. Zudem ist das EMS für „Bildschirm*Techniker“ der Effekt des Fehlerterms zuzüglich des doppelten Effekts der Wechselwirkung „Bildschirm*Techniker“.

Zum Berechnen der F-Statistik für „Bildschirm*Techniker“ wird das Mittel der Quadrate für „Bildschirm*Techniker“ durch das Mittel der Quadrate des Fehlers dividiert, so dass sich der erwartete Wert des Zählers (EMS für „Bildschirm*Techniker“ = (4) + 2,0000(3)) vom erwarteten Wert des Nenners (EMS für „Fehler“ = (4)) nur durch den Effekt der Wechselwirkung (2,0000(3)) unterscheidet. Daher zeigt eine hohe F-Statistik eine signifikante Wechselwirkung „Bildschirm*Techniker“ an.

Eine Zahl mit Q[ ] gibt den festen Effekt für den Term an, der neben der Quellennummer aufgelistet ist. So ist Q[1] beispielsweise der feste Effekt von „Bildschirm“. Das EMS für „Bildschirm“ ist der Effekt des Fehlerterms zuzüglich des doppelten Effekts der Wechselwirkung „Bildschirm*Techniker“ plus ein konstantes Vielfaches des Effekts von „Bildschirm“. Q[1] ist gleich (b*n * sum((Koeffizienten für Stufen von „Bildschirm“)**2)) dividiert durch (a – 1), wobei a und b die Anzahl der Stufen von „Bildschirm“ und „Techniker“ sind und n die Anzahl der Replikationen angibt.

Zum Berechnen der F-Statistik für „Bildschirm“ wird das Mittel der Quadrate für „Bildschirm“ durch das Mittel der Quadrate für „Bildschirm*Techniker“ dividiert, so dass sich der erwartete Wert des Zählers (EMS für „Bildschirm“ = (4) + 2,0000(3) + Q[1]) vom erwarteten Wert des Nenners (EMS für „Bildschirm*Techniker“ = (4) + 2,0000(3)) nur durch den Effekt von „Bildschirm“ (Q[1]) unterscheidet. Daher weist eine hohe F-Statistik auf einen signifikanten Effekt von „Bildschirm“ hin.

Weshalb enthält die ANOVA-Ausgabe ein „x“ neben einem p-Wert in der ANOVA-Tabelle sowie die Beschriftung „Kein genauer F-Test“?

In einem genauen F-Test für einen Term unterscheidet sich der erwartete Wert des Mittels der Quadrate für den Zähler vom erwarteten Wert des Mittels der Quadrate für den Nenner nur durch die Varianzkomponente bzw. den festen Faktor von Interesse.

Gelegentlich kann ein solches Mittel der Quadrate jedoch nicht berechnet werden. In einem solchen Fall verwendet Minitab ein Mittel der Quadrate, das zu einem annähernden F-Test führt, und zeigt ein „x“ neben dem p-Wert an, um anzugeben, dass der F-Test nicht genau ist.

Angenommen, Sie haben eine ANOVA mit dem festen Faktor „Zusatz“ und dem Zufallsfaktor „See“ durchgeführt, und Sie erhalten die folgende Ausgabe für das erwartete Mittel der Quadrate (EMS):
Quelle Erwartetes Mittel der Quadrate für jeden Term
(1) Zusatz (4) + 1,7500(3) + Q[1]
(2) See (4) + 1,7143(3) + 5,1429(2)
(3) Zusatz*See (4) + 1,7500(3)
(4) Fehler (4)

Die F-Statistik für „Zusatz“ ist das Mittel der Quadrate für „Zusatz“ dividiert durch das Mittel der Quadrate für die Wechselwirkung „Zusatz*See“. Wenn der Effekt für „Zusatz“ sehr klein ist, ist der erwartete Wert des Zählers gleich dem erwarteten Wert des Nenners. Dies ist ein Beispiel für einen genauen F-Test.

Beachten Sie jedoch, dass für einen sehr kleinen Effekt von „See“ kein Mittel der Quadrate vorliegt, bei dem der erwartete Wert des Zählers gleich dem erwarteten Wert des Nenners ist. Daher verwendet Minitab einen annähernden F-Test. In diesem Beispiel wird das Mittel der Quadrate für „See“ durch das Mittel der Quadrate für die Wechselwirkung „Zusatz*See“ dividiert. Dadurch wird ein erwarteter Wert des Zählers erhalten, der annähernd gleich dem des Nenners ist, wenn der Effekt von „See“ sehr klein ist.

Informationen zur Meldung „Nenner von F-Test ist null oder nicht definiert“

Minitab zeigt aus einem der folgenden Gründe eine Fehlermeldung an, dass der Nenner des F-Tests null oder nicht definiert ist:
  • Für den Fehler ist nicht mindestens ein Freiheitsgrad vorhanden.
  • Die korrigierten MS-Werte sind sehr klein, und damit ist keine ausreichende Genauigkeit zur Anzeige der F-Statistik und der p-Werte gegeben. Mögliche Problemumgehung: Multiplizieren Sie die Antwortspalte mit 10. Führen Sie anschließend dasselbe Regressionsmodell aus, wobei Sie jedoch diese neue Antwortspalte als Antwortvariable verwenden.

    Hinweis

    Das Multiplizieren der Werte der Antwortvariablen mit 10 wirkt sich nicht auf die F-Statistik und die p-Werte aus, die Minitab in der Ausgabe anzeigt. Die Position des Dezimalkommas in der übrigen Ausgabe ist jedoch betroffen, insbesondere die Spalten für die sequenzielle Summe der Quadrate, Kor SS, Kor MS, Anpassung, Standardfehler der Anpassungen und Residuen.

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